Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59502 / 82568
↖ ↑ ↗
← S 42.309815°
W 16.572876°		 ← 225.82 m → S 42.309815°
W 16.570130°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
S 42.311846°
W 16.572876°		 ← 225.81 m →
51 001 m²		 S 42.311846°
W 16.570130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453968048095703 y=0.629947662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453968048095703 × 217)
    floor (0.453968048095703 × 131072)
    floor (59502.5)     		tx = 59502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629947662353516 × 217)
    floor (0.629947662353516 × 131072)
    floor (82568.5)     		ty = 82568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59502 / 82568 ti = "17/59502/82568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59502/82568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59502 ÷ 217
    59502 ÷ 131072     		x = 0.453964233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82568 ÷ 217
    82568 ÷ 131072     		y = 0.62994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453964233398438 × 2 - 1) × π
    -0.092071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28925125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.2598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.816461274328796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28925125} λ = -0.28925125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816461274328796))-π/2
    2×atan(0.441992982234146)-π/2
    2×0.416175370948684-π/2
    0.832350741897369-1.57079632675     		φ = -0.73844558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28925125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.572876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73844558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.309815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59502 KachelY 82568 -0.28925125 -0.73844558 -16.572876 -42.309815
    Oben rechts KachelX + 1 59503 KachelY 82568 -0.28920332 -0.73844558 -16.570130 -42.309815
    Unten links KachelX 59502 KachelY + 1 82569 -0.28925125 -0.73848103 -16.572876 -42.311846
    Unten rechts KachelX + 1 59503 KachelY + 1 82569 -0.28920332 -0.73848103 -16.570130 -42.311846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73844558--0.73848103) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73844558--0.73848103) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28925125--0.28920332) × cos(-0.73844558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739515792771459 × 6371000     		do = 225.82004369789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28925125--0.28920332) × cos(-0.73848103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739491929521893 × 6371000     		du = 225.812756767561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73844558)-sin(-0.73848103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739515792771459-0.739491929521893)×R²
    abs(-0.28920332--0.28925125)×2.38632495651592e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38632495651592e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38632495651592e-05×40589641000000     		ar = 51001.0743397049m²