Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59501 / 82093
↖ ↑ ↗
← S 41.337638°
W 16.575623°		 ← 229.32 m → S 41.337638°
W 16.572876°		 →
↑
229.29 m
↓
↑
229.29 m
↓
S 41.339700°
W 16.575623°		 ← 229.32 m →
52 581 m²		 S 41.339700°
W 16.572876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453960418701172 y=0.626323699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453960418701172 × 217)
    floor (0.453960418701172 × 131072)
    floor (59501.5)     		tx = 59501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626323699951172 × 217)
    floor (0.626323699951172 × 131072)
    floor (82093.5)     		ty = 82093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59501 / 82093 ti = "17/59501/82093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59501/82093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59501 ÷ 217
    59501 ÷ 131072     		x = 0.453956604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82093 ÷ 217
    82093 ÷ 131072     		y = 0.626319885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453956604003906 × 2 - 1) × π
    -0.0920867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28929919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626319885253906 × 2 - 1) × π
    -0.252639770507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.79369124700927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28929919} λ = -0.28929919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79369124700927))-π/2
    2×atan(0.452172630125061)-π/2
    2×0.424659217410453-π/2
    0.849318434820906-1.57079632675     		φ = -0.72147789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28929919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.575623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72147789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.337638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59501 KachelY 82093 -0.28929919 -0.72147789 -16.575623 -41.337638
    Oben rechts KachelX + 1 59502 KachelY 82093 -0.28925125 -0.72147789 -16.572876 -41.337638
    Unten links KachelX 59501 KachelY + 1 82094 -0.28929919 -0.72151388 -16.575623 -41.339700
    Unten rechts KachelX + 1 59502 KachelY + 1 82094 -0.28925125 -0.72151388 -16.572876 -41.339700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72147789--0.72151388) × R
    3.59900000000968e-05 × 6371000     		dl = 229.292290000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72147789--0.72151388) × R
    3.59900000000968e-05 × 6371000     		dr = 229.292290000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28929919--0.28925125) × cos(-0.72147789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750830410451358 × 6371000     		do = 229.322933726459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28929919--0.28925125) × cos(-0.72151388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750806638748691 × 6371000     		du = 229.315673236581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72147789)-sin(-0.72151388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750830410451358-0.750806638748691)×R²
    abs(-0.28925125--0.28929919)×2.3771702667208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3771702667208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3771702667208e-05×40589641000000     		ar = 52581.1482424284m²