Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59500 / 84939
↖ ↑ ↗
← S 46.940887°
W 16.578369°		 ← 208.53 m → S 46.940887°
W 16.575623°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
S 46.942762°
W 16.578369°		 ← 208.52 m →
43 483 m²		 S 46.942762°
W 16.575623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453952789306641 y=0.648036956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453952789306641 × 217)
    floor (0.453952789306641 × 131072)
    floor (59500.5)     		tx = 59500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648036956787109 × 217)
    floor (0.648036956787109 × 131072)
    floor (84939.5)     		ty = 84939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59500 / 84939 ti = "17/59500/84939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59500/84939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59500 ÷ 217
    59500 ÷ 131072     		x = 0.453948974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84939 ÷ 217
    84939 ÷ 131072     		y = 0.648033142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453948974609375 × 2 - 1) × π
    -0.09210205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28934713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648033142089844 × 2 - 1) × π
    -0.296066284179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.930119663327949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28934713} λ = -0.28934713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.930119663327949))-π/2
    2×atan(0.394506499586319)-π/2
    2×0.375761648442424-π/2
    0.751523296884848-1.57079632675     		φ = -0.81927303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28934713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.578369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81927303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.940887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59500 KachelY 84939 -0.28934713 -0.81927303 -16.578369 -46.940887
    Oben rechts KachelX + 1 59501 KachelY 84939 -0.28929919 -0.81927303 -16.575623 -46.940887
    Unten links KachelX 59500 KachelY + 1 84940 -0.28934713 -0.81930576 -16.578369 -46.942762
    Unten rechts KachelX + 1 59501 KachelY + 1 84940 -0.28929919 -0.81930576 -16.575623 -46.942762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81927303--0.81930576) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dl = 208.522830000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81927303--0.81930576) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dr = 208.522830000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28934713--0.28929919) × cos(-0.81927303) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682752548052674 × 6371000     		do = 208.530202225978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28934713--0.28929919) × cos(-0.81930576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682728633522879 × 6371000     		du = 208.522898113019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81927303)-sin(-0.81930576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682752548052674-0.682728633522879)×R²
    abs(-0.28929919--0.28934713)×2.39145297951104e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39145297951104e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39145297951104e-05×40589641000000     		ar = 43482.5463755021m²