Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 595 / 463
↖ ↑ ↗
← N 16.972741°
E 29.179687°		 ← 37.389 km → N 16.972741°
E 29.531250°		 →
↑
37.423 km
↓
↑
37.423 km
↓
N 16.636192°
E 29.179687°		 ← 37.456 km →
1 400.45 km²		 N 16.636192°
E 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58154296875 y=0.45263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58154296875 × 210)
    floor (0.58154296875 × 1024)
    floor (595.5)     		tx = 595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45263671875 × 210)
    floor (0.45263671875 × 1024)
    floor (463.5)     		ty = 463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 595 / 463 ti = "10/595/463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/595/463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 595 ÷ 210
    595 ÷ 1024     		x = 0.5810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 463 ÷ 210
    463 ÷ 1024     		y = 0.4521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    0.095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.300660234416992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50928162} λ = 0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.300660234416992))-π/2
    2×atan(1.35075032509173)-π/2
    2×0.933513270336981-π/2
    1.86702654067396-1.57079632675     		φ = 0.29623021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29623021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.972741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 595 KachelY 463 0.50928162 0.29623021 29.179687 16.972741
    Oben rechts KachelX + 1 596 KachelY 463 0.51541754 0.29623021 29.531250 16.972741
    Unten links KachelX 595 KachelY + 1 464 0.50928162 0.29035632 29.179687 16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 596 KachelY + 1 464 0.51541754 0.29035632 29.531250 16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29623021-0.29035632) × R
    0.00587388999999999 × 6371000     		dl = 37422.55319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29623021-0.29035632) × R
    0.00587388999999999 × 6371000     		dr = 37422.55319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50928162-0.51541754) × cos(0.29623021) × R
    0.00613591999999996 × 0.956443747320158 × 6371000     		do = 37389.247628339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50928162-0.51541754) × cos(0.29035632) × R
    0.00613591999999996 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 37455.6326672514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29623021)-sin(0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956443747320158-0.958141924186794)×R²
    abs(0.51541754-0.50928162)×0.00169817686663598×R²
    0.00613591999999996×0.00169817686663598×6371000²
    0.00613591999999996×0.00169817686663598×40589641000000     		ar = 1400447283.52025m²