Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 595 / 372
↖ ↑ ↗
← N 81.255032°
W127.705078°		 ← 1 485.85 m → N 81.255032°
W127.617187°		 →
↑
1 486.99 m
↓
↑
1 486.99 m
↓
N 81.241660°
W127.705078°		 ← 1 488.11 m →
2 211 124 m²		 N 81.241660°
W127.617187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1453857421875 y=0.0909423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1453857421875 × 212)
    floor (0.1453857421875 × 4096)
    floor (595.5)     		tx = 595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0909423828125 × 212)
    floor (0.0909423828125 × 4096)
    floor (372.5)     		ty = 372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 595 / 372 ti = "12/595/372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/595/372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 595 ÷ 212
    595 ÷ 4096     		x = 0.145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 372 ÷ 212
    372 ÷ 4096     		y = 0.0908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.70947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22887408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908203125 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22887408} λ = -2.22887408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57095180042285))-π/2
    2×atan(13.0782664183627)-π/2
    2×1.49448208710832-π/2
    2.98896417421665-1.57079632675     		φ = 1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22887408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.705078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 595 KachelY 372 -2.22887408 1.41816785 -127.705078 81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 596 KachelY 372 -2.22734010 1.41816785 -127.617187 81.255032
    Unten links KachelX 595 KachelY + 1 373 -2.22887408 1.41793445 -127.705078 81.241660
    Unten rechts KachelX + 1 596 KachelY + 1 373 -2.22734010 1.41793445 -127.617187 81.241660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41816785-1.41793445) × R
    0.000233399999999939 × 6371000     		dl = 1486.99139999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41816785-1.41793445) × R
    0.000233399999999939 × 6371000     		dr = 1486.99139999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22887408--2.22734010) × cos(1.41816785) × R
    0.00153398000000005 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 1485.85140801626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22887408--2.22734010) × cos(1.41793445) × R
    0.00153398000000005 × 0.152267257640206 × 6371000     		du = 1488.10586549118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41816785)-sin(1.41793445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.152267257640206)×R²
    abs(-2.22734010--2.22887408)×0.000230682550974581×R²
    0.00153398000000005×0.000230682550974581×6371000²
    0.00153398000000005×0.000230682550974581×40589641000000     		ar = 2211124.45487154m²