Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59499 / 35877
↖ ↑ ↗
← N 62.868926°
W 16.581116°		 ← 139.25 m → N 62.868926°
W 16.578369°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 62.867674°
W 16.581116°		 ← 139.26 m →
19 394 m²		 N 62.867674°
W 16.578369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453945159912109 y=0.273723602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453945159912109 × 217)
    floor (0.453945159912109 × 131072)
    floor (59499.5)     		tx = 59499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273723602294922 × 217)
    floor (0.273723602294922 × 131072)
    floor (35877.5)     		ty = 35877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59499 / 35877 ti = "17/59499/35877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59499/35877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59499 ÷ 217
    59499 ÷ 131072     		x = 0.453941345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35877 ÷ 217
    35877 ÷ 131072     		y = 0.273719787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453941345214844 × 2 - 1) × π
    -0.0921173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28939506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273719787597656 × 2 - 1) × π
    0.452560424804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.42176050583125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28939506} λ = -0.28939506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42176050583125))-π/2
    2×atan(4.14441027993082)-π/2
    2×1.33403304536018-π/2
    2.66806609072036-1.57079632675     		φ = 1.09726976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28939506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.581116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09726976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.868926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59499 KachelY 35877 -0.28939506 1.09726976 -16.581116 62.868926
    Oben rechts KachelX + 1 59500 KachelY 35877 -0.28934713 1.09726976 -16.578369 62.868926
    Unten links KachelX 59499 KachelY + 1 35878 -0.28939506 1.09724790 -16.581116 62.867674
    Unten rechts KachelX + 1 59500 KachelY + 1 35878 -0.28934713 1.09724790 -16.578369 62.867674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09726976-1.09724790) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dl = 139.270060000963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09726976-1.09724790) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dr = 139.270060000963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28939506--0.28934713) × cos(1.09726976) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.456027637785944 × 6371000     		do = 139.253525210344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28939506--0.28934713) × cos(1.09724790) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.456047092325299 × 6371000     		du = 139.259465887975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09726976)-sin(1.09724790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456027637785944-0.456047092325299)×R²
    abs(-0.28934713--0.28939506)×1.94545393555901e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94545393555901e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94545393555901e-05×40589641000000     		ar = 19394.2604914858m²