Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59499 / 35874
↖ ↑ ↗
← N 62.872684°
W 16.581116°		 ← 139.24 m → N 62.872684°
W 16.578369°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 62.871431°
W 16.581116°		 ← 139.24 m →
19 392 m²		 N 62.871431°
W 16.578369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453945159912109 y=0.273700714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453945159912109 × 217)
    floor (0.453945159912109 × 131072)
    floor (59499.5)     		tx = 59499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273700714111328 × 217)
    floor (0.273700714111328 × 131072)
    floor (35874.5)     		ty = 35874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59499 / 35874 ti = "17/59499/35874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59499/35874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59499 ÷ 217
    59499 ÷ 131072     		x = 0.453941345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35874 ÷ 217
    35874 ÷ 131072     		y = 0.273696899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453941345214844 × 2 - 1) × π
    -0.0921173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28939506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273696899414062 × 2 - 1) × π
    0.452606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42190431653011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28939506} λ = -0.28939506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42190431653011))-π/2
    2×atan(4.14500633332794)-π/2
    2×1.33406583408825-π/2
    2.66813166817649-1.57079632675     		φ = 1.09733534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28939506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.581116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09733534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.872684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59499 KachelY 35874 -0.28939506 1.09733534 -16.581116 62.872684
    Oben rechts KachelX + 1 59500 KachelY 35874 -0.28934713 1.09733534 -16.578369 62.872684
    Unten links KachelX 59499 KachelY + 1 35875 -0.28939506 1.09731348 -16.581116 62.871431
    Unten rechts KachelX + 1 59500 KachelY + 1 35875 -0.28934713 1.09731348 -16.578369 62.871431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09733534-1.09731348) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dl = 139.270060000963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09733534-1.09731348) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dr = 139.270060000963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28939506--0.28934713) × cos(1.09733534) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.455969272860411 × 6371000     		do = 139.235702778203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28939506--0.28934713) × cos(1.09731348) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.455988728053491 × 6371000     		du = 139.241643655456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09733534)-sin(1.09731348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455969272860411-0.455988728053491)×R²
    abs(-0.28934713--0.28939506)×1.94551930792208e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.94551930792208e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.94551930792208e-05×40589641000000     		ar = 19391.7783740443m²