Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59498 / 84940
↖ ↑ ↗
← S 46.942762°
W 16.583862°		 ← 208.52 m → S 46.942762°
W 16.581116°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
S 46.944637°
W 16.583862°		 ← 208.52 m →
43 481 m²		 S 46.944637°
W 16.581116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453937530517578 y=0.648044586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453937530517578 × 217)
    floor (0.453937530517578 × 131072)
    floor (59498.5)     		tx = 59498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648044586181641 × 217)
    floor (0.648044586181641 × 131072)
    floor (84940.5)     		ty = 84940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59498 / 84940 ti = "17/59498/84940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59498/84940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59498 ÷ 217
    59498 ÷ 131072     		x = 0.453933715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84940 ÷ 217
    84940 ÷ 131072     		y = 0.648040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453933715820312 × 2 - 1) × π
    -0.092132568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28944300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.29608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.93016760022757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28944300} λ = -0.28944300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93016760022757))-π/2
    2×atan(0.394487588621119)-π/2
    2×0.375745284208825-π/2
    0.751490568417651-1.57079632675     		φ = -0.81930576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28944300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.583862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81930576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.942762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59498 KachelY 84940 -0.28944300 -0.81930576 -16.583862 -46.942762
    Oben rechts KachelX + 1 59499 KachelY 84940 -0.28939506 -0.81930576 -16.581116 -46.942762
    Unten links KachelX 59498 KachelY + 1 84941 -0.28944300 -0.81933849 -16.583862 -46.944637
    Unten rechts KachelX + 1 59499 KachelY + 1 84941 -0.28939506 -0.81933849 -16.581116 -46.944637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81930576--0.81933849) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dl = 208.522830000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81930576--0.81933849) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dr = 208.522830000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28944300--0.28939506) × cos(-0.81930576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682728633522879 × 6371000     		do = 208.522898113019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28944300--0.28939506) × cos(-0.81933849) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682704718261709 × 6371000     		du = 208.515593776679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81930576)-sin(-0.81933849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682728633522879-0.682704718261709)×R²
    abs(-0.28939506--0.28944300)×2.39152611701821e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39152611701821e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39152611701821e-05×40589641000000     		ar = 43481.0232778785m²