Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59496 / 45480
↖ ↑ ↗
← N 48.151428°
W 16.589355°		 ← 203.73 m → N 48.151428°
W 16.586609°		 →
↑
203.74 m
↓
↑
203.74 m
↓
N 48.149596°
W 16.589355°		 ← 203.73 m →
41 509 m²		 N 48.149596°
W 16.586609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453922271728516 y=0.346988677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453922271728516 × 217)
    floor (0.453922271728516 × 131072)
    floor (59496.5)     		tx = 59496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346988677978516 × 217)
    floor (0.346988677978516 × 131072)
    floor (45480.5)     		ty = 45480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59496 / 45480 ti = "17/59496/45480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59496/45480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59496 ÷ 217
    59496 ÷ 131072     		x = 0.45391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45480 ÷ 217
    45480 ÷ 131072     		y = 0.34698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34698486328125 × 2 - 1) × π
    0.3060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961422458779846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28953887} λ = -0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961422458779846))-π/2
    2×atan(2.61541414749423)-π/2
    2×1.20559864370662-π/2
    2.41119728741323-1.57079632675     		φ = 0.84040096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84040096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.151428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59496 KachelY 45480 -0.28953887 0.84040096 -16.589355 48.151428
    Oben rechts KachelX + 1 59497 KachelY 45480 -0.28949094 0.84040096 -16.586609 48.151428
    Unten links KachelX 59496 KachelY + 1 45481 -0.28953887 0.84036898 -16.589355 48.149596
    Unten rechts KachelX + 1 59497 KachelY + 1 45481 -0.28949094 0.84036898 -16.586609 48.149596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84040096-0.84036898) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dl = 203.744579999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84040096-0.84036898) × R
    3.19799999999315e-05 × 6371000     		dr = 203.744579999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28953887--0.28949094) × cos(0.84040096) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667164200090286 × 6371000     		do = 203.726614483021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28953887--0.28949094) × cos(0.84036898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667188021992859 × 6371000     		du = 203.733888787549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84040096)-sin(0.84036898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667164200090286-0.667188021992859)×R²
    abs(-0.28949094--0.28953887)×2.38219025728847e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38219025728847e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38219025728847e-05×40589641000000     		ar = 41508.9345560634m²