Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59495 / 84909
↖ ↑ ↗
← S 46.884600°
W 16.592102°		 ← 208.75 m → S 46.884600°
W 16.589355°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
S 46.886478°
W 16.592102°		 ← 208.74 m →
43 581 m²		 S 46.886478°
W 16.589355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453914642333984 y=0.647808074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453914642333984 × 217)
    floor (0.453914642333984 × 131072)
    floor (59495.5)     		tx = 59495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647808074951172 × 217)
    floor (0.647808074951172 × 131072)
    floor (84909.5)     		ty = 84909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59495 / 84909 ti = "17/59495/84909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59495/84909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59495 ÷ 217
    59495 ÷ 131072     		x = 0.453910827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84909 ÷ 217
    84909 ÷ 131072     		y = 0.647804260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453910827636719 × 2 - 1) × π
    -0.0921783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28958681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647804260253906 × 2 - 1) × π
    -0.295608520507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.928681556339348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28958681} λ = -0.28958681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928681556339348))-π/2
    2×atan(0.395074250285698)-π/2
    2×0.376252841985153-π/2
    0.752505683970307-1.57079632675     		φ = -0.81829064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28958681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.592102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81829064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.884600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59495 KachelY 84909 -0.28958681 -0.81829064 -16.592102 -46.884600
    Oben rechts KachelX + 1 59496 KachelY 84909 -0.28953887 -0.81829064 -16.589355 -46.884600
    Unten links KachelX 59495 KachelY + 1 84910 -0.28958681 -0.81832341 -16.592102 -46.886478
    Unten rechts KachelX + 1 59496 KachelY + 1 84910 -0.28953887 -0.81832341 -16.589355 -46.886478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81829064--0.81832341) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81829064--0.81832341) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28958681--0.28953887) × cos(-0.81829064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683470001419695 × 6371000     		do = 208.749330951275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28958681--0.28953887) × cos(-0.81832341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683446079653982 × 6371000     		du = 208.742024628279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81829064)-sin(-0.81832341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683470001419695-0.683446079653982)×R²
    abs(-0.28953887--0.28958681)×2.39217657134194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39217657134194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39217657134194e-05×40589641000000     		ar = 43581.436235422m²