Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59494 / 84854
↖ ↑ ↗
← S 46.781255°
W 16.594849°		 ← 209.15 m → S 46.781255°
W 16.592102°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
S 46.783136°
W 16.594849°		 ← 209.14 m →
43 745 m²		 S 46.783136°
W 16.592102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453907012939453 y=0.647388458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453907012939453 × 217)
    floor (0.453907012939453 × 131072)
    floor (59494.5)     		tx = 59494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647388458251953 × 217)
    floor (0.647388458251953 × 131072)
    floor (84854.5)     		ty = 84854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59494 / 84854 ti = "17/59494/84854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59494/84854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59494 ÷ 217
    59494 ÷ 131072     		x = 0.453903198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84854 ÷ 217
    84854 ÷ 131072     		y = 0.647384643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453903198242188 × 2 - 1) × π
    -0.092193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28963475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647384643554688 × 2 - 1) × π
    -0.294769287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.926045026860245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28963475} λ = -0.28963475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926045026860245))-π/2
    2×atan(0.396117249537966)-π/2
    2×0.377154703485025-π/2
    0.75430940697005-1.57079632675     		φ = -0.81648692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28963475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.594849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81648692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.781255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59494 KachelY 84854 -0.28963475 -0.81648692 -16.594849 -46.781255
    Oben rechts KachelX + 1 59495 KachelY 84854 -0.28958681 -0.81648692 -16.592102 -46.781255
    Unten links KachelX 59494 KachelY + 1 84855 -0.28963475 -0.81651975 -16.594849 -46.783136
    Unten rechts KachelX + 1 59495 KachelY + 1 84855 -0.28958681 -0.81651975 -16.592102 -46.783136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81648692--0.81651975) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81648692--0.81651975) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28963475--0.28958681) × cos(-0.81648692) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684785565904661 × 6371000     		do = 209.151138207855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28963475--0.28958681) × cos(-0.81651975) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684761640849587 × 6371000     		du = 209.143830880204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81648692)-sin(-0.81651975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684785565904661-0.684761640849587)×R²
    abs(-0.28958681--0.28963475)×2.39250550743142e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39250550743142e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39250550743142e-05×40589641000000     		ar = 43745.2732308252m²