Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59493 / 35773
↖ ↑ ↗
← N 62.998899°
W 16.597595°		 ← 138.64 m → N 62.998899°
W 16.594849°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 62.997653°
W 16.597595°		 ← 138.64 m →
19 220 m²		 N 62.997653°
W 16.594849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453899383544922 y=0.272930145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453899383544922 × 217)
    floor (0.453899383544922 × 131072)
    floor (59493.5)     		tx = 59493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272930145263672 × 217)
    floor (0.272930145263672 × 131072)
    floor (35773.5)     		ty = 35773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59493 / 35773 ti = "17/59493/35773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59493/35773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59493 ÷ 217
    59493 ÷ 131072     		x = 0.453895568847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35773 ÷ 217
    35773 ÷ 131072     		y = 0.272926330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453895568847656 × 2 - 1) × π
    -0.0922088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28968268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272926330566406 × 2 - 1) × π
    0.454147338867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.42674594339173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28968268} λ = -0.28968268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42674594339173))-π/2
    2×atan(4.16512356810722)-π/2
    2×1.33516727495828-π/2
    2.67033454991656-1.57079632675     		φ = 1.09953822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28968268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.597595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09953822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.998899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59493 KachelY 35773 -0.28968268 1.09953822 -16.597595 62.998899
    Oben rechts KachelX + 1 59494 KachelY 35773 -0.28963475 1.09953822 -16.594849 62.998899
    Unten links KachelX 59493 KachelY + 1 35774 -0.28968268 1.09951646 -16.597595 62.997653
    Unten rechts KachelX + 1 59494 KachelY + 1 35774 -0.28963475 1.09951646 -16.594849 62.997653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09953822-1.09951646) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dl = 138.632959999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09953822-1.09951646) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dr = 138.632959999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28968268--0.28963475) × cos(1.09953822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454007614783089 × 6371000     		do = 138.636686885707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28968268--0.28963475) × cos(1.09951646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.454027002787804 × 6371000     		du = 138.642607246184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09953822)-sin(1.09951646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454007614783089-0.454027002787804)×R²
    abs(-0.28963475--0.28968268)×1.93880047152373e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93880047152373e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93880047152373e-05×40589641000000     		ar = 19220.0246468375m²