Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59492 / 84868
↖ ↑ ↗
← S 46.807580°
W 16.600342°		 ← 209.05 m → S 46.807580°
W 16.597595°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
S 46.809460°
W 16.600342°		 ← 209.04 m →
43 697 m²		 S 46.809460°
W 16.597595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453891754150391 y=0.647495269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453891754150391 × 217)
    floor (0.453891754150391 × 131072)
    floor (59492.5)     		tx = 59492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647495269775391 × 217)
    floor (0.647495269775391 × 131072)
    floor (84868.5)     		ty = 84868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59492 / 84868 ti = "17/59492/84868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59492/84868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59492 ÷ 217
    59492 ÷ 131072     		x = 0.453887939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84868 ÷ 217
    84868 ÷ 131072     		y = 0.647491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453887939453125 × 2 - 1) × π
    -0.09222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28973062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.29498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.926716143454926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28973062} λ = -0.28973062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926716143454926))-π/2
    2×atan(0.395851497863516)-π/2
    2×0.37692497419626-π/2
    0.753849948392521-1.57079632675     		φ = -0.81694638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28973062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.600342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81694638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.807580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59492 KachelY 84868 -0.28973062 -0.81694638 -16.600342 -46.807580
    Oben rechts KachelX + 1 59493 KachelY 84868 -0.28968268 -0.81694638 -16.597595 -46.807580
    Unten links KachelX 59492 KachelY + 1 84869 -0.28973062 -0.81697919 -16.600342 -46.809460
    Unten rechts KachelX + 1 59493 KachelY + 1 84869 -0.28968268 -0.81697919 -16.597595 -46.809460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81694638--0.81697919) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81694638--0.81697919) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28973062--0.28968268) × cos(-0.81694638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684450664630646 × 6371000     		do = 209.04885073817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28973062--0.28968268) × cos(-0.81697919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684426743830556 × 6371000     		du = 209.041544710101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81694638)-sin(-0.81697919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684450664630646-0.684426743830556)×R²
    abs(-0.28968268--0.28973062)×2.39208000899493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39208000899493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39208000899493e-05×40589641000000     		ar = 43697.2423877465m²