Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59492 / 82087
↖ ↑ ↗
← S 41.325264°
W 16.600342°		 ← 229.37 m → S 41.325264°
W 16.597595°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.327327°
W 16.600342°		 ← 229.36 m →
52 606 m²		 S 41.327327°
W 16.597595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453891754150391 y=0.626277923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453891754150391 × 217)
    floor (0.453891754150391 × 131072)
    floor (59492.5)     		tx = 59492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626277923583984 × 217)
    floor (0.626277923583984 × 131072)
    floor (82087.5)     		ty = 82087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59492 / 82087 ti = "17/59492/82087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59492/82087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59492 ÷ 217
    59492 ÷ 131072     		x = 0.453887939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82087 ÷ 217
    82087 ÷ 131072     		y = 0.626274108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453887939453125 × 2 - 1) × π
    -0.09222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28973062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626274108886719 × 2 - 1) × π
    -0.252548217773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.793403625611549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28973062} λ = -0.28973062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793403625611549))-π/2
    2×atan(0.452302703353974)-π/2
    2×0.424767205112501-π/2
    0.849534410225002-1.57079632675     		φ = -0.72126192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28973062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.600342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72126192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.325264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59492 KachelY 82087 -0.28973062 -0.72126192 -16.600342 -41.325264
    Oben rechts KachelX + 1 59493 KachelY 82087 -0.28968268 -0.72126192 -16.597595 -41.325264
    Unten links KachelX 59492 KachelY + 1 82088 -0.28973062 -0.72129792 -16.600342 -41.327327
    Unten rechts KachelX + 1 59493 KachelY + 1 82088 -0.28968268 -0.72129792 -16.597595 -41.327327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72126192--0.72129792) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dl = 229.356000000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72126192--0.72129792) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dr = 229.356000000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28973062--0.28968268) × cos(-0.72126192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750973040053021 × 6371000     		do = 229.366496478093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28973062--0.28968268) × cos(-0.72129792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750949267583241 × 6371000     		du = 229.359235753919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72126192)-sin(-0.72129792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750973040053021-0.750949267583241)×R²
    abs(-0.28968268--0.28973062)×2.37724697794706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37724697794706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37724697794706e-05×40589641000000     		ar = 52605.749526657m²