Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59491 / 84870
↖ ↑ ↗
← S 46.811339°
W 16.603088°		 ← 209.03 m → S 46.811339°
W 16.600342°		 →
↑
208.97 m
↓
↑
208.97 m
↓
S 46.813219°
W 16.603088°		 ← 209.03 m →
43 681 m²		 S 46.813219°
W 16.600342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453884124755859 y=0.647510528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453884124755859 × 217)
    floor (0.453884124755859 × 131072)
    floor (59491.5)     		tx = 59491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647510528564453 × 217)
    floor (0.647510528564453 × 131072)
    floor (84870.5)     		ty = 84870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59491 / 84870 ti = "17/59491/84870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59491/84870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59491 ÷ 217
    59491 ÷ 131072     		x = 0.453880310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84870 ÷ 217
    84870 ÷ 131072     		y = 0.647506713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453880310058594 × 2 - 1) × π
    -0.0922393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28977856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647506713867188 × 2 - 1) × π
    -0.295013427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.926812017254166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28977856} λ = -0.28977856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926812017254166))-π/2
    2×atan(0.395813547895714)-π/2
    2×0.376892164900083-π/2
    0.753784329800166-1.57079632675     		φ = -0.81701200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28977856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.603088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81701200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.811339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59491 KachelY 84870 -0.28977856 -0.81701200 -16.603088 -46.811339
    Oben rechts KachelX + 1 59492 KachelY 84870 -0.28973062 -0.81701200 -16.600342 -46.811339
    Unten links KachelX 59491 KachelY + 1 84871 -0.28977856 -0.81704480 -16.603088 -46.813219
    Unten rechts KachelX + 1 59492 KachelY + 1 84871 -0.28973062 -0.81704480 -16.600342 -46.813219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81701200--0.81704480) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dl = 208.96880000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81701200--0.81704480) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dr = 208.96880000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28977856--0.28973062) × cos(-0.81701200) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684402822293684 × 6371000     		do = 209.034238457242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28977856--0.28973062) × cos(-0.81704480) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684378907311319 × 6371000     		du = 209.026934206056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81701200)-sin(-0.81704480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684402822293684-0.684378907311319)×R²
    abs(-0.28973062--0.28977856)×2.39149823643148e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39149823643148e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39149823643148e-05×40589641000000     		ar = 43680.8707929657m²