Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59491 / 82592
↖ ↑ ↗
← S 42.358544°
W 16.603088°		 ← 225.69 m → S 42.358544°
W 16.600342°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
S 42.360573°
W 16.603088°		 ← 225.68 m →
50 929 m²		 S 42.360573°
W 16.600342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453884124755859 y=0.630130767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453884124755859 × 217)
    floor (0.453884124755859 × 131072)
    floor (59491.5)     		tx = 59491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630130767822266 × 217)
    floor (0.630130767822266 × 131072)
    floor (82592.5)     		ty = 82592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59491 / 82592 ti = "17/59491/82592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59491/82592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59491 ÷ 217
    59491 ÷ 131072     		x = 0.453880310058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82592 ÷ 217
    82592 ÷ 131072     		y = 0.630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453880310058594 × 2 - 1) × π
    -0.0922393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28977856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.26025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.817611759919678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28977856} λ = -0.28977856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817611759919678))-π/2
    2×atan(0.441484768079403)-π/2
    2×0.415750134550612-π/2
    0.831500269101224-1.57079632675     		φ = -0.73929606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28977856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.603088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73929606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.358544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59491 KachelY 82592 -0.28977856 -0.73929606 -16.603088 -42.358544
    Oben rechts KachelX + 1 59492 KachelY 82592 -0.28973062 -0.73929606 -16.600342 -42.358544
    Unten links KachelX 59491 KachelY + 1 82593 -0.28977856 -0.73933148 -16.603088 -42.360573
    Unten rechts KachelX + 1 59492 KachelY + 1 82593 -0.28973062 -0.73933148 -16.600342 -42.360573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73929606--0.73933148) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dl = 225.660820000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73929606--0.73933148) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dr = 225.660820000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28977856--0.28973062) × cos(-0.73929606) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738943033955681 × 6371000     		do = 225.692222963872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28977856--0.28973062) × cos(-0.73933148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738919168632888 × 6371000     		du = 225.684933879998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73929606)-sin(-0.73933148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738943033955681-0.738919168632888)×R²
    abs(-0.28973062--0.28977856)×2.38653227929708e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38653227929708e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38653227929708e-05×40589641000000     		ar = 50929.0696766968m²