Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59490 / 82082
↖ ↑ ↗
← S 41.314950°
W 16.605835°		 ← 229.40 m → S 41.314950°
W 16.603088°		 →
↑
229.36 m
↓
↑
229.36 m
↓
S 41.317013°
W 16.605835°		 ← 229.40 m →
52 614 m²		 S 41.317013°
W 16.603088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453876495361328 y=0.626239776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453876495361328 × 217)
    floor (0.453876495361328 × 131072)
    floor (59490.5)     		tx = 59490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626239776611328 × 217)
    floor (0.626239776611328 × 131072)
    floor (82082.5)     		ty = 82082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59490 / 82082 ti = "17/59490/82082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59490/82082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59490 ÷ 217
    59490 ÷ 131072     		x = 0.453872680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82082 ÷ 217
    82082 ÷ 131072     		y = 0.626235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453872680664062 × 2 - 1) × π
    -0.092254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28982650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.252471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.793163941113449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28982650} λ = -0.28982650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793163941113449))-π/2
    2×atan(0.452411126293547)-π/2
    2×0.424857210532843-π/2
    0.849714421065686-1.57079632675     		φ = -0.72108191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28982650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.605835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72108191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.314950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59490 KachelY 82082 -0.28982650 -0.72108191 -16.605835 -41.314950
    Oben rechts KachelX + 1 59491 KachelY 82082 -0.28977856 -0.72108191 -16.603088 -41.314950
    Unten links KachelX 59490 KachelY + 1 82083 -0.28982650 -0.72111791 -16.605835 -41.317013
    Unten rechts KachelX + 1 59491 KachelY + 1 82083 -0.28977856 -0.72111791 -16.603088 -41.317013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72108191--0.72111791) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dl = 229.356000000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72108191--0.72111791) × R
    3.6000000000036e-05 × 6371000     		dr = 229.356000000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28982650--0.28977856) × cos(-0.72108191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751091894404363 × 6371000     		do = 229.402797656304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28982650--0.28977856) × cos(-0.72111791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751068126801467 × 6371000     		du = 229.395538418601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72108191)-sin(-0.72111791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751091894404363-0.751068126801467)×R²
    abs(-0.28977856--0.28982650)×2.37676028956857e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37676028956857e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37676028956857e-05×40589641000000     		ar = 52614.0755899882m²