Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59489 / 84865
↖ ↑ ↗
← S 46.801939°
W 16.608581°		 ← 209.03 m → S 46.801939°
W 16.605835°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
S 46.803820°
W 16.608581°		 ← 209.02 m →
43 706 m²		 S 46.803820°
W 16.605835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453868865966797 y=0.647472381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453868865966797 × 217)
    floor (0.453868865966797 × 131072)
    floor (59489.5)     		tx = 59489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647472381591797 × 217)
    floor (0.647472381591797 × 131072)
    floor (84865.5)     		ty = 84865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59489 / 84865 ti = "17/59489/84865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59489/84865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59489 ÷ 217
    59489 ÷ 131072     		x = 0.453865051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84865 ÷ 217
    84865 ÷ 131072     		y = 0.647468566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453865051269531 × 2 - 1) × π
    -0.0922698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28987443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647468566894531 × 2 - 1) × π
    -0.294937133789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.926572332756065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28987443} λ = -0.28987443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926572332756065))-π/2
    2×atan(0.395908429637669)-π/2
    2×0.376974192440608-π/2
    0.753948384881216-1.57079632675     		φ = -0.81684794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28987443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.608581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81684794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.801939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59489 KachelY 84865 -0.28987443 -0.81684794 -16.608581 -46.801939
    Oben rechts KachelX + 1 59490 KachelY 84865 -0.28982650 -0.81684794 -16.605835 -46.801939
    Unten links KachelX 59489 KachelY + 1 84866 -0.28987443 -0.81688076 -16.608581 -46.803820
    Unten rechts KachelX + 1 59490 KachelY + 1 84866 -0.28982650 -0.81688076 -16.605835 -46.803820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81684794--0.81688076) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000     		dl = 209.096219999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81684794--0.81688076) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000     		dr = 209.096219999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28987443--0.28982650) × cos(-0.81684794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68452242989988 × 6371000     		do = 209.027158774888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28987443--0.28982650) × cos(-0.81688076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.684498504020375 × 6371000     		du = 209.019852719753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81684794)-sin(-0.81688076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68452242989988-0.684498504020375)×R²
    abs(-0.28982650--0.28987443)×2.39258795052821e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39258795052821e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39258795052821e-05×40589641000000     		ar = 43706.0249467249m²