Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59489 / 35876
↖ ↑ ↗
← N 62.870179°
W 16.608581°		 ← 139.25 m → N 62.870179°
W 16.605835°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 62.868926°
W 16.608581°		 ← 139.25 m →
19 393 m²		 N 62.868926°
W 16.605835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453868865966797 y=0.273715972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453868865966797 × 217)
    floor (0.453868865966797 × 131072)
    floor (59489.5)     		tx = 59489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273715972900391 × 217)
    floor (0.273715972900391 × 131072)
    floor (35876.5)     		ty = 35876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59489 / 35876 ti = "17/59489/35876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59489/35876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59489 ÷ 217
    59489 ÷ 131072     		x = 0.453865051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35876 ÷ 217
    35876 ÷ 131072     		y = 0.273712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453865051269531 × 2 - 1) × π
    -0.0922698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28987443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273712158203125 × 2 - 1) × π
    0.45257568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42180844273087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28987443} λ = -0.28987443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42180844273087))-π/2
    2×atan(4.14460895487229)-π/2
    2×1.33404397540249-π/2
    2.66808795080498-1.57079632675     		φ = 1.09729162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28987443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.608581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09729162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.870179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59489 KachelY 35876 -0.28987443 1.09729162 -16.608581 62.870179
    Oben rechts KachelX + 1 59490 KachelY 35876 -0.28982650 1.09729162 -16.605835 62.870179
    Unten links KachelX 59489 KachelY + 1 35877 -0.28987443 1.09726976 -16.608581 62.868926
    Unten rechts KachelX + 1 59490 KachelY + 1 35877 -0.28982650 1.09726976 -16.605835 62.868926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09729162-1.09726976) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dl = 139.270059999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09729162-1.09726976) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dr = 139.270059999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28987443--0.28982650) × cos(1.09729162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456008183028671 × 6371000     		do = 139.247584466332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28987443--0.28982650) × cos(1.09726976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456027637785944 × 6371000     		du = 139.253525210506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09729162)-sin(1.09726976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456008183028671-0.456027637785944)×R²
    abs(-0.28982650--0.28987443)×1.94547572725523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94547572725523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94547572725523e-05×40589641000000     		ar = 19393.4331279553m²