Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59488 / 27359
↖ ↑ ↗
← N 71.774800°
W 16.611328°		 ← 95.52 m → N 71.774800°
W 16.608581°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
N 71.773941°
W 16.611328°		 ← 95.53 m →
9 123 m²		 N 71.773941°
W 16.608581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453861236572266 y=0.208736419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453861236572266 × 217)
    floor (0.453861236572266 × 131072)
    floor (59488.5)     		tx = 59488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208736419677734 × 217)
    floor (0.208736419677734 × 131072)
    floor (27359.5)     		ty = 27359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59488 / 27359 ti = "17/59488/27359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59488/27359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59488 ÷ 217
    59488 ÷ 131072     		x = 0.453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27359 ÷ 217
    27359 ÷ 131072     		y = 0.208732604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208732604980469 × 2 - 1) × π
    0.582534790039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.83008701679488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28992237} λ = -0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83008701679488))-π/2
    2×atan(6.23442913496335)-π/2
    2×1.41175145386652-π/2
    2.82350290773303-1.57079632675     		φ = 1.25270658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25270658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.774800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59488 KachelY 27359 -0.28992237 1.25270658 -16.611328 71.774800
    Oben rechts KachelX + 1 59489 KachelY 27359 -0.28987443 1.25270658 -16.608581 71.774800
    Unten links KachelX 59488 KachelY + 1 27360 -0.28992237 1.25269159 -16.611328 71.773941
    Unten rechts KachelX + 1 59489 KachelY + 1 27360 -0.28987443 1.25269159 -16.608581 71.773941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25270658-1.25269159) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dl = 95.5012899995986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25270658-1.25269159) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dr = 95.5012899995986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28992237--0.28987443) × cos(1.25270658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312752707782023 × 6371000     		do = 95.5227272112655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28992237--0.28987443) × cos(1.25269159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312766945767353 × 6371000     		du = 95.5270758584709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25270658)-sin(1.25269159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312752707782023-0.312766945767353)×R²
    abs(-0.28987443--0.28992237)×1.42379853295682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42379853295682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42379853295682e-05×40589641000000     		ar = 9122.75132375m²