Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59487 / 84856
S 46.785016°
W 16.614075°
← 209.14 m → S 46.785016°
W 16.611328°

209.10 m

209.10 m
S 46.786896°
W 16.614075°
← 209.13 m →
43 729 m²
S 46.786896°
W 16.611328°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453853607177734 y=0.647403717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453853607177734 × 217)
    floor (0.453853607177734 × 131072)
    floor (59487.5)
    tx = 59487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647403717041016 × 217)
    floor (0.647403717041016 × 131072)
    floor (84856.5)
    ty = 84856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59487 / 84856 ti = "17/59487/84856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59487/84856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59487 ÷ 217
    59487 ÷ 131072
    x = 0.453849792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84856 ÷ 217
    84856 ÷ 131072
    y = 0.64739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.453849792480469 × 2 - 1) × π
    -0.0923004150390625 × 3.1415926535
    Λ = -0.28997031
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.64739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.2947998046875 × 3.1415926535
    Φ = -0.926140900659485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28997031} λ = -0.28997031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926140900659485))-π/2
    2×atan(0.396079274092763)-π/2
    2×0.377121878134835-π/2
    0.754243756269669-1.57079632675
    φ = -0.81655257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28997031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.614075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81655257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.785016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59487 KachelY 84856 -0.28997031 -0.81655257 -16.614075 -46.785016
    Oben rechts KachelX + 1 59488 KachelY 84856 -0.28992237 -0.81655257 -16.611328 -46.785016
    Unten links KachelX 59487 KachelY + 1 84857 -0.28997031 -0.81658539 -16.614075 -46.786896
    Unten rechts KachelX + 1 59488 KachelY + 1 84857 -0.28992237 -0.81658539 -16.611328 -46.786896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.81655257--0.81658539) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000
    dl = 209.096219999576m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.81655257--0.81658539) × R
    3.28199999999335e-05 × 6371000
    dr = 209.096219999576m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28997031--0.28992237) × cos(-0.81655257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684737722344366 × 6371000
    do = 209.136525553048m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28997031--0.28992237) × cos(-0.81658539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684713803101579 × 6371000
    du = 209.129220000619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.81655257)-sin(-0.81658539))×
    abs(λ12)×abs(0.684737722344366-0.684713803101579)×
    abs(-0.28992237--0.28997031)×2.39192427875512e-05×
    4.79400000000241e-05×2.39192427875512e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39192427875512e-05×40589641000000
    ar = 43728.8931793163m²