Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59485 / 84859
↖ ↑ ↗
← S 46.790658°
W 16.619568°		 ← 209.11 m → S 46.790658°
W 16.616821°		 →
↑
209.10 m
↓
↑
209.10 m
↓
S 46.792538°
W 16.619568°		 ← 209.11 m →
43 724 m²		 S 46.792538°
W 16.616821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453838348388672 y=0.647426605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453838348388672 × 217)
    floor (0.453838348388672 × 131072)
    floor (59485.5)     		tx = 59485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647426605224609 × 217)
    floor (0.647426605224609 × 131072)
    floor (84859.5)     		ty = 84859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59485 / 84859 ti = "17/59485/84859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59485/84859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59485 ÷ 217
    59485 ÷ 131072     		x = 0.453834533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84859 ÷ 217
    84859 ÷ 131072     		y = 0.647422790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453834533691406 × 2 - 1) × π
    -0.0923309326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29006618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647422790527344 × 2 - 1) × π
    -0.294845581054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.926284711358345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29006618} λ = -0.29006618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926284711358345))-π/2
    2×atan(0.396022317751115)-π/2
    2×0.377072644409831-π/2
    0.754145288819663-1.57079632675     		φ = -0.81665104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29006618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.619568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81665104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.790658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59485 KachelY 84859 -0.29006618 -0.81665104 -16.619568 -46.790658
    Oben rechts KachelX + 1 59486 KachelY 84859 -0.29001824 -0.81665104 -16.616821 -46.790658
    Unten links KachelX 59485 KachelY + 1 84860 -0.29006618 -0.81668386 -16.619568 -46.792538
    Unten rechts KachelX + 1 59486 KachelY + 1 84860 -0.29001824 -0.81668386 -16.616821 -46.792538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81665104--0.81668386) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dl = 209.096220000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81665104--0.81668386) × R
    3.28200000000445e-05 × 6371000     		dr = 209.096220000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29006618--0.29001824) × cos(-0.81665104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684665955114836 × 6371000     		do = 209.114605993861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29006618--0.29001824) × cos(-0.81668386) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684642033659278 × 6371000     		du = 209.107299765595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81665104)-sin(-0.81668386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684665955114836-0.684642033659278)×R²
    abs(-0.29001824--0.29006618)×2.39214555582956e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39214555582956e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39214555582956e-05×40589641000000     		ar = 43724.3098117864m²