Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59484 / 82607
↖ ↑ ↗
← S 42.388980°
W 16.622315°		 ← 225.58 m → S 42.388980°
W 16.619568°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
S 42.391008°
W 16.622315°		 ← 225.58 m →
50 876 m²		 S 42.391008°
W 16.619568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453830718994141 y=0.630245208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453830718994141 × 217)
    floor (0.453830718994141 × 131072)
    floor (59484.5)     		tx = 59484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630245208740234 × 217)
    floor (0.630245208740234 × 131072)
    floor (82607.5)     		ty = 82607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59484 / 82607 ti = "17/59484/82607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59484/82607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59484 ÷ 217
    59484 ÷ 131072     		x = 0.453826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82607 ÷ 217
    82607 ÷ 131072     		y = 0.630241394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29011412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630241394042969 × 2 - 1) × π
    -0.260482788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.818330813413979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29011412} λ = -0.29011412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818330813413979))-π/2
    2×atan(0.441167431019069)-π/2
    2×0.415484529122034-π/2
    0.830969058244069-1.57079632675     		φ = -0.73982727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29011412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.622315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73982727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.388980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59484 KachelY 82607 -0.29011412 -0.73982727 -16.622315 -42.388980
    Oben rechts KachelX + 1 59485 KachelY 82607 -0.29006618 -0.73982727 -16.619568 -42.388980
    Unten links KachelX 59484 KachelY + 1 82608 -0.29011412 -0.73986267 -16.622315 -42.391008
    Unten rechts KachelX + 1 59485 KachelY + 1 82608 -0.29006618 -0.73986267 -16.619568 -42.391008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73982727--0.73986267) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dl = 225.533399999412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73982727--0.73986267) × R
    3.53999999999077e-05 × 6371000     		dr = 225.533399999412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29011412--0.29006618) × cos(-0.73982727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738585017463638 × 6371000     		do = 225.582875511597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29011412--0.29006618) × cos(-0.73986267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738561151724616 × 6371000     		du = 225.575586300595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73982727)-sin(-0.73986267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738585017463638-0.738561151724616)×R²
    abs(-0.29006618--0.29011412)×2.38657390222441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38657390222441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38657390222441e-05×40589641000000     		ar = 50875.6509207504m²