Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59484 / 35900
↖ ↑ ↗
← N 62.840104°
W 16.622315°		 ← 139.42 m → N 62.840104°
W 16.619568°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
N 62.838851°
W 16.622315°		 ← 139.43 m →
19 435 m²		 N 62.838851°
W 16.619568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453830718994141 y=0.273899078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453830718994141 × 217)
    floor (0.453830718994141 × 131072)
    floor (59484.5)     		tx = 59484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273899078369141 × 217)
    floor (0.273899078369141 × 131072)
    floor (35900.5)     		ty = 35900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59484 / 35900 ti = "17/59484/35900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59484/35900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59484 ÷ 217
    59484 ÷ 131072     		x = 0.453826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35900 ÷ 217
    35900 ÷ 131072     		y = 0.273895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29011412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273895263671875 × 2 - 1) × π
    0.45220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42065795713998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29011412} λ = -0.29011412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42065795713998))-π/2
    2×atan(4.1398433838759)-π/2
    2×1.33378152565588-π/2
    2.66756305131177-1.57079632675     		φ = 1.09676672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29011412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.622315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09676672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.840104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59484 KachelY 35900 -0.29011412 1.09676672 -16.622315 62.840104
    Oben rechts KachelX + 1 59485 KachelY 35900 -0.29006618 1.09676672 -16.619568 62.840104
    Unten links KachelX 59484 KachelY + 1 35901 -0.29011412 1.09674484 -16.622315 62.838851
    Unten rechts KachelX + 1 59485 KachelY + 1 35901 -0.29006618 1.09674484 -16.619568 62.838851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09676672-1.09674484) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09676672-1.09674484) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29011412--0.29006618) × cos(1.09676672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456475268370657 × 6371000     		do = 139.419296633715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29011412--0.29006618) × cos(1.09674484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45649473568728 × 6371000     		du = 139.4252424533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09676672)-sin(1.09674484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456475268370657-0.45649473568728)×R²
    abs(-0.29006618--0.29011412)×1.94673166224457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94673166224457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94673166224457e-05×40589641000000     		ar = 19435.1130310542m²