Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59483 / 84999
↖ ↑ ↗
← S 47.053283°
W 16.625061°		 ← 208.05 m → S 47.053283°
W 16.622315°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
S 47.055154°
W 16.625061°		 ← 208.04 m →
43 289 m²		 S 47.055154°
W 16.622315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453823089599609 y=0.648494720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453823089599609 × 217)
    floor (0.453823089599609 × 131072)
    floor (59483.5)     		tx = 59483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648494720458984 × 217)
    floor (0.648494720458984 × 131072)
    floor (84999.5)     		ty = 84999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59483 / 84999 ti = "17/59483/84999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59483/84999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59483 ÷ 217
    59483 ÷ 131072     		x = 0.453819274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84999 ÷ 217
    84999 ÷ 131072     		y = 0.648490905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453819274902344 × 2 - 1) × π
    -0.0923614501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29016205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648490905761719 × 2 - 1) × π
    -0.296981811523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.932995877305153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29016205} λ = -0.29016205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932995877305153))-π/2
    2×atan(0.393373444713353)-π/2
    2×0.37478080884211-π/2
    0.749561617684221-1.57079632675     		φ = -0.82123471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29016205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.625061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82123471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.053283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59483 KachelY 84999 -0.29016205 -0.82123471 -16.625061 -47.053283
    Oben rechts KachelX + 1 59484 KachelY 84999 -0.29011412 -0.82123471 -16.622315 -47.053283
    Unten links KachelX 59483 KachelY + 1 85000 -0.29016205 -0.82126737 -16.625061 -47.055154
    Unten rechts KachelX + 1 59484 KachelY + 1 85000 -0.29011412 -0.82126737 -16.622315 -47.055154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82123471--0.82126737) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dl = 208.076860000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82123471--0.82126737) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dr = 208.076860000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29016205--0.29011412) × cos(-0.82123471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681317934423522 × 6371000     		do = 208.048627531101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29016205--0.29011412) × cos(-0.82126737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681294027344564 × 6371000     		du = 208.041327216939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82123471)-sin(-0.82126737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681317934423522-0.681294027344564)×R²
    abs(-0.29011412--0.29016205)×2.39070789572748e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39070789572748e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39070789572748e-05×40589641000000     		ar = 43289.34563465m²