Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59482 / 85895
↖ ↑ ↗
← S 48.703651°
W 16.627808°		 ← 201.57 m → S 48.703651°
W 16.625061°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
S 48.705463°
W 16.627808°		 ← 201.56 m →
40 618 m²		 S 48.705463°
W 16.625061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453815460205078 y=0.655330657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453815460205078 × 217)
    floor (0.453815460205078 × 131072)
    floor (59482.5)     		tx = 59482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655330657958984 × 217)
    floor (0.655330657958984 × 131072)
    floor (85895.5)     		ty = 85895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59482 / 85895 ti = "17/59482/85895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59482/85895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59482 ÷ 217
    59482 ÷ 131072     		x = 0.453811645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85895 ÷ 217
    85895 ÷ 131072     		y = 0.655326843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453811645507812 × 2 - 1) × π
    -0.092376708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29020999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655326843261719 × 2 - 1) × π
    -0.310653686523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.975947339364723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29020999} λ = -0.29020999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975947339364723))-π/2
    2×atan(0.376835193601111)-π/2
    2×0.360378635571688-π/2
    0.720757271143377-1.57079632675     		φ = -0.85003906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29020999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.627808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85003906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.703651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59482 KachelY 85895 -0.29020999 -0.85003906 -16.627808 -48.703651
    Oben rechts KachelX + 1 59483 KachelY 85895 -0.29016205 -0.85003906 -16.625061 -48.703651
    Unten links KachelX 59482 KachelY + 1 85896 -0.29020999 -0.85007069 -16.627808 -48.705463
    Unten rechts KachelX + 1 59483 KachelY + 1 85896 -0.29016205 -0.85007069 -16.625061 -48.705463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85003906--0.85007069) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85003906--0.85007069) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29020999--0.29016205) × cos(-0.85003906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659953800368902 × 6371000     		do = 201.566877843352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29020999--0.29016205) × cos(-0.85007069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659930036224194 × 6371000     		du = 201.559619661869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85003906)-sin(-0.85007069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659953800368902-0.659930036224194)×R²
    abs(-0.29016205--0.29020999)×2.37641447081716e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37641447081716e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37641447081716e-05×40589641000000     		ar = 40617.963653832m²