Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59480 / 85368
↖ ↑ ↗
← S 47.739324°
W 16.633301°		 ← 205.36 m → S 47.739324°
W 16.630554°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
S 47.741170°
W 16.633301°		 ← 205.35 m →
42 167 m²		 S 47.741170°
W 16.630554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453800201416016 y=0.651309967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453800201416016 × 217)
    floor (0.453800201416016 × 131072)
    floor (59480.5)     		tx = 59480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651309967041016 × 217)
    floor (0.651309967041016 × 131072)
    floor (85368.5)     		ty = 85368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59480 / 85368 ti = "17/59480/85368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59480/85368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59480 ÷ 217
    59480 ÷ 131072     		x = 0.45379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85368 ÷ 217
    85368 ÷ 131072     		y = 0.65130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.3026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.950684593264954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29030586} λ = -0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950684593264954))-π/2
    2×atan(0.386476353760445)-π/2
    2×0.368793975741521-π/2
    0.737587951483042-1.57079632675     		φ = -0.83320838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83320838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.739324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59480 KachelY 85368 -0.29030586 -0.83320838 -16.633301 -47.739324
    Oben rechts KachelX + 1 59481 KachelY 85368 -0.29025793 -0.83320838 -16.630554 -47.739324
    Unten links KachelX 59480 KachelY + 1 85369 -0.29030586 -0.83324061 -16.633301 -47.741170
    Unten rechts KachelX + 1 59481 KachelY + 1 85369 -0.29025793 -0.83324061 -16.630554 -47.741170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83320838--0.83324061) × R
    3.22300000000775e-05 × 6371000     		dl = 205.337330000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83320838--0.83324061) × R
    3.22300000000775e-05 × 6371000     		dr = 205.337330000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29030586--0.29025793) × cos(-0.83320838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67250472639858 × 6371000     		do = 205.357408437791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29030586--0.29025793) × cos(-0.83324061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.672480872857471 × 6371000     		du = 205.350124472055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83320838)-sin(-0.83324061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67250472639858-0.672480872857471)×R²
    abs(-0.29025793--0.29030586)×2.3853541108565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3853541108565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3853541108565e-05×40589641000000     		ar = 42166.7941131554m²