Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59480 / 84872
↖ ↑ ↗
← S 46.815099°
W 16.633301°		 ← 208.98 m → S 46.815099°
W 16.630554°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
S 46.816978°
W 16.633301°		 ← 208.97 m →
43 682 m²		 S 46.816978°
W 16.630554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453800201416016 y=0.647525787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453800201416016 × 217)
    floor (0.453800201416016 × 131072)
    floor (59480.5)     		tx = 59480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647525787353516 × 217)
    floor (0.647525787353516 × 131072)
    floor (84872.5)     		ty = 84872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59480 / 84872 ti = "17/59480/84872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59480/84872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59480 ÷ 217
    59480 ÷ 131072     		x = 0.45379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84872 ÷ 217
    84872 ÷ 131072     		y = 0.64752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.2950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.926907891053406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29030586} λ = -0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926907891053406))-π/2
    2×atan(0.395775601566145)-π/2
    2×0.37685935789726-π/2
    0.75371871579452-1.57079632675     		φ = -0.81707761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81707761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.815099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59480 KachelY 84872 -0.29030586 -0.81707761 -16.633301 -46.815099
    Oben rechts KachelX + 1 59481 KachelY 84872 -0.29025793 -0.81707761 -16.630554 -46.815099
    Unten links KachelX 59480 KachelY + 1 84873 -0.29030586 -0.81711042 -16.633301 -46.816978
    Unten rechts KachelX + 1 59481 KachelY + 1 84873 -0.29025793 -0.81711042 -16.630554 -46.816978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81707761--0.81711042) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81707761--0.81711042) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29030586--0.29025793) × cos(-0.81707761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.684354984301183 × 6371000     		do = 208.976027246955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29030586--0.29025793) × cos(-0.81711042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.684331060554341 × 6371000     		du = 208.968721843054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81707761)-sin(-0.81711042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684354984301183-0.684331060554341)×R²
    abs(-0.29025793--0.29030586)×2.39237468417919e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39237468417919e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39237468417919e-05×40589641000000     		ar = 43682.0199756799m²