Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59480 / 59496
↖ ↑ ↗
← S 81.181231°
E146.733399°		 ← 93.64 m → S 81.181231°
E146.738892°		 →
↑
93.65 m
↓
↑
93.65 m
↓
S 81.182073°
E146.733399°		 ← 93.63 m →
8 769 m²		 S 81.182073°
E146.738892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907600402832031 y=0.907844543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907600402832031 × 216)
    floor (0.907600402832031 × 65536)
    floor (59480.5)     		tx = 59480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907844543457031 × 216)
    floor (0.907844543457031 × 65536)
    floor (59496.5)     		ty = 59496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59480 / 59496 ti = "16/59480/59496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59480/59496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59480 ÷ 216
    59480 ÷ 65536     		x = 0.9075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59496 ÷ 216
    59496 ÷ 65536     		y = 0.9078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9075927734375 × 2 - 1) × π
    0.815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56098093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56251490608972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56098093} λ = 2.56098093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56251490608972))-π/2
    2×atan(0.077110570542667)-π/2
    2×0.0769582793111804-π/2
    0.153916558622361-1.57079632675     		φ = -1.41687977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56098093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.733399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41687977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.181231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59480 KachelY 59496 2.56098093 -1.41687977 146.733399 -81.181231
    Oben rechts KachelX + 1 59481 KachelY 59496 2.56107680 -1.41687977 146.738892 -81.181231
    Unten links KachelX 59480 KachelY + 1 59497 2.56098093 -1.41689447 146.733399 -81.182073
    Unten rechts KachelX + 1 59481 KachelY + 1 59497 2.56107680 -1.41689447 146.738892 -81.182073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41687977--1.41689447) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dl = 93.6536999995101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41687977--1.41689447) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dr = 93.6536999995101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56098093-2.56107680) × cos(-1.41687977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15330955451152 × 6371000     		do = 93.6396009197828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56098093-2.56107680) × cos(-1.41689447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153295028275226 × 6371000     		du = 93.6307284723104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41687977)-sin(-1.41689447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15330955451152-0.153295028275226)×R²
    abs(2.56107680-2.56098093)×1.45262362936938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45262362936938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45262362936938e-05×40589641000000     		ar = 8769.27962372538m²