Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5948 / 6866
↖ ↑ ↗
← N 27.955591°
W 49.306641°		 ← 2 158.12 m → N 27.955591°
W 49.284668°		 →
↑
2 158.37 m
↓
↑
2 158.37 m
↓
N 27.936180°
W 49.306641°		 ← 2 158.51 m →
4 658 432 m²		 N 27.936180°
W 49.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363067626953125 y=0.419097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363067626953125 × 214)
    floor (0.363067626953125 × 16384)
    floor (5948.5)     		tx = 5948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419097900390625 × 214)
    floor (0.419097900390625 × 16384)
    floor (6866.5)     		ty = 6866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5948 / 6866 ti = "14/5948/6866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5948/6866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5948 ÷ 214
    5948 ÷ 16384     		x = 0.363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6866 ÷ 214
    6866 ÷ 16384     		y = 0.4190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.27392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.86056322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4190673828125 × 2 - 1) × π
    0.161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.508514631169556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86056322} λ = -0.86056322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508514631169556))-π/2
    2×atan(1.66281945948516)-π/2
    2×1.02935671707699-π/2
    2.05871343415398-1.57079632675     		φ = 0.48791711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86056322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48791711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.955591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5948 KachelY 6866 -0.86056322 0.48791711 -49.306641 27.955591
    Oben rechts KachelX + 1 5949 KachelY 6866 -0.86017973 0.48791711 -49.284668 27.955591
    Unten links KachelX 5948 KachelY + 1 6867 -0.86056322 0.48757833 -49.306641 27.936180
    Unten rechts KachelX + 1 5949 KachelY + 1 6867 -0.86017973 0.48757833 -49.284668 27.936180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48791711-0.48757833) × R
    0.000338779999999983 × 6371000     		dl = 2158.36737999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48791711-0.48757833) × R
    0.000338779999999983 × 6371000     		dr = 2158.36737999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86056322--0.86017973) × cos(0.48791711) × R
    0.000383489999999931 × 0.883311205888223 × 6371000     		do = 2158.11900239845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86056322--0.86017973) × cos(0.48757833) × R
    0.000383489999999931 × 0.883469970877867 × 6371000     		du = 2158.50689936928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48791711)-sin(0.48757833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883311205888223-0.883469970877867)×R²
    abs(-0.86017973--0.86056322)×0.000158764989644067×R²
    0.000383489999999931×0.000158764989644067×6371000²
    0.000383489999999931×0.000158764989644067×40589641000000     		ar = 4658432.31357396m²