Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59479 / 82547
↖ ↑ ↗
← S 42.267147°
W 16.636047°		 ← 226.02 m → S 42.267147°
W 16.633301°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 42.269179°
W 16.636047°		 ← 226.01 m →
51 075 m²		 S 42.269179°
W 16.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453792572021484 y=0.629787445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453792572021484 × 217)
    floor (0.453792572021484 × 131072)
    floor (59479.5)     		tx = 59479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629787445068359 × 217)
    floor (0.629787445068359 × 131072)
    floor (82547.5)     		ty = 82547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59479 / 82547 ti = "17/59479/82547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59479/82547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59479 ÷ 217
    59479 ÷ 131072     		x = 0.453788757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82547 ÷ 217
    82547 ÷ 131072     		y = 0.629783630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453788757324219 × 2 - 1) × π
    -0.0924224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29035380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629783630371094 × 2 - 1) × π
    -0.259567260742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.815454599436775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29035380} λ = -0.29035380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815454599436775))-π/2
    2×atan(0.442438149503573)-π/2
    2×0.416547723047708-π/2
    0.833095446095416-1.57079632675     		φ = -0.73770088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29035380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.636047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73770088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.267147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59479 KachelY 82547 -0.29035380 -0.73770088 -16.636047 -42.267147
    Oben rechts KachelX + 1 59480 KachelY 82547 -0.29030586 -0.73770088 -16.633301 -42.267147
    Unten links KachelX 59479 KachelY + 1 82548 -0.29035380 -0.73773635 -16.636047 -42.269179
    Unten rechts KachelX + 1 59480 KachelY + 1 82548 -0.29030586 -0.73773635 -16.633301 -42.269179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73770088--0.73773635) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dl = 225.979370000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73770088--0.73773635) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dr = 225.979370000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29035380--0.29030586) × cos(-0.73770088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740016874433092 × 6371000     		do = 226.020201486066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29035380--0.29030586) × cos(-0.73773635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739993017260469 × 6371000     		du = 226.012914891463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73770088)-sin(-0.73773635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740016874433092-0.739993017260469)×R²
    abs(-0.29030586--0.29035380)×2.38571726236536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38571726236536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38571726236536e-05×40589641000000     		ar = 51075.0794344192m²