Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59477 / 82549
↖ ↑ ↗
← S 42.271212°
W 16.641540°		 ← 225.96 m → S 42.271212°
W 16.638794°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 42.273244°
W 16.641540°		 ← 225.95 m →
51 061 m²		 S 42.273244°
W 16.638794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453777313232422 y=0.629802703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453777313232422 × 217)
    floor (0.453777313232422 × 131072)
    floor (59477.5)     		tx = 59477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629802703857422 × 217)
    floor (0.629802703857422 × 131072)
    floor (82549.5)     		ty = 82549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59477 / 82549 ti = "17/59477/82549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59477/82549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59477 ÷ 217
    59477 ÷ 131072     		x = 0.453773498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82549 ÷ 217
    82549 ÷ 131072     		y = 0.629798889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453773498535156 × 2 - 1) × π
    -0.0924530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29044967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629798889160156 × 2 - 1) × π
    -0.259597778320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.815550473236015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29044967} λ = -0.29044967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815550473236015))-π/2
    2×atan(0.442395733310585)-π/2
    2×0.416512250076858-π/2
    0.833024500153716-1.57079632675     		φ = -0.73777183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29044967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.641540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73777183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.271212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59477 KachelY 82549 -0.29044967 -0.73777183 -16.641540 -42.271212
    Oben rechts KachelX + 1 59478 KachelY 82549 -0.29040174 -0.73777183 -16.638794 -42.271212
    Unten links KachelX 59477 KachelY + 1 82550 -0.29044967 -0.73780730 -16.641540 -42.273244
    Unten rechts KachelX + 1 59478 KachelY + 1 82550 -0.29040174 -0.73780730 -16.638794 -42.273244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73777183--0.73780730) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dl = 225.979370000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73777183--0.73780730) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dr = 225.979370000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29044967--0.29040174) × cos(-0.73777183) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739969152430437 × 6371000     		do = 225.958482523414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29044967--0.29040174) × cos(-0.73780730) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739945293395579 × 6371000     		du = 225.951196880096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73777183)-sin(-0.73780730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739969152430437-0.739945293395579)×R²
    abs(-0.29040174--0.29044967)×2.38590348574652e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38590348574652e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38590348574652e-05×40589641000000     		ar = 51061.1323297274m²