Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59477 / 58419
↖ ↑ ↗
← S 80.226385°
E146.716919°		 ← 103.70 m → S 80.226385°
E146.722412°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
S 80.227318°
E146.716919°		 ← 103.69 m →
10 755 m²		 S 80.227318°
E146.722412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907554626464844 y=0.891410827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907554626464844 × 216)
    floor (0.907554626464844 × 65536)
    floor (59477.5)     		tx = 59477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891410827636719 × 216)
    floor (0.891410827636719 × 65536)
    floor (58419.5)     		ty = 58419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59477 / 58419 ti = "16/59477/58419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59477/58419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59477 ÷ 216
    59477 ÷ 65536     		x = 0.907546997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58419 ÷ 216
    58419 ÷ 65536     		y = 0.891403198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907546997070312 × 2 - 1) × π
    0.815093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56069330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891403198242188 × 2 - 1) × π
    -0.782806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.45925882430812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56069330} λ = 2.56069330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45925882430812))-π/2
    2×atan(0.0854982967484918)-π/2
    2×0.0852908760592534-π/2
    0.170581752118507-1.57079632675     		φ = -1.40021457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56069330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.716919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40021457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.226385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59477 KachelY 58419 2.56069330 -1.40021457 146.716919 -80.226385
    Oben rechts KachelX + 1 59478 KachelY 58419 2.56078918 -1.40021457 146.722412 -80.226385
    Unten links KachelX 59477 KachelY + 1 58420 2.56069330 -1.40023085 146.716919 -80.227318
    Unten rechts KachelX + 1 59478 KachelY + 1 58420 2.56078918 -1.40023085 146.722412 -80.227318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40021457--1.40023085) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dl = 103.719880000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40021457--1.40023085) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dr = 103.719880000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56069330-2.56078918) × cos(-1.40021457) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169755691040632 × 6371000     		do = 103.695515110525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56069330-2.56078918) × cos(-1.40023085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169739647303173 × 6371000     		du = 103.685714769753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40021457)-sin(-1.40023085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169755691040632-0.169739647303173)×R²
    abs(2.56078918-2.56069330)×1.60437374593092e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.60437374593092e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.60437374593092e-05×40589641000000     		ar = 10754.7781390028m²