Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59476 / 58828
↖ ↑ ↗
← S 80.600499°
E146.711426°		 ← 99.75 m → S 80.600499°
E146.716919°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
S 80.601396°
E146.711426°		 ← 99.74 m →
9 952 m²		 S 80.601396°
E146.716919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907539367675781 y=0.897651672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907539367675781 × 216)
    floor (0.907539367675781 × 65536)
    floor (59476.5)     		tx = 59476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897651672363281 × 216)
    floor (0.897651672363281 × 65536)
    floor (58828.5)     		ty = 58828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59476 / 58828 ti = "16/59476/58828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59476/58828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59476 ÷ 216
    59476 ÷ 65536     		x = 0.90753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58828 ÷ 216
    58828 ÷ 65536     		y = 0.89764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90753173828125 × 2 - 1) × π
    0.8150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56059743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89764404296875 × 2 - 1) × π
    -0.7952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49847120819733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56059743} λ = 2.56059743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49847120819733))-π/2
    2×atan(0.0822105854705281)-π/2
    2×0.0820261239639468-π/2
    0.164052247927894-1.57079632675     		φ = -1.40674408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56059743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40674408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.600499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59476 KachelY 58828 2.56059743 -1.40674408 146.711426 -80.600499
    Oben rechts KachelX + 1 59477 KachelY 58828 2.56069330 -1.40674408 146.716919 -80.600499
    Unten links KachelX 59476 KachelY + 1 58829 2.56059743 -1.40675974 146.711426 -80.601396
    Unten rechts KachelX + 1 59477 KachelY + 1 58829 2.56069330 -1.40675974 146.716919 -80.601396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40674408--1.40675974) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40674408--1.40675974) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56059743-2.56069330) × cos(-1.40674408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163317376203902 × 6371000     		do = 99.7522560138301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56059743-2.56069330) × cos(-1.40675974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163301926441567 × 6371000     		du = 99.7428194879468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40674408)-sin(-1.40675974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163317376203902-0.163301926441567)×R²
    abs(2.56069330-2.56059743)×1.54497623345018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54497623345018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54497623345018e-05×40589641000000     		ar = 9951.79787705973m²