Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59475 / 82553
↖ ↑ ↗
← S 42.279341°
W 16.647034°		 ← 225.98 m → S 42.279341°
W 16.644287°		 →
↑
225.98 m
↓
↑
225.98 m
↓
S 42.281373°
W 16.647034°		 ← 225.97 m →
51 065 m²		 S 42.281373°
W 16.644287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453762054443359 y=0.629833221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453762054443359 × 217)
    floor (0.453762054443359 × 131072)
    floor (59475.5)     		tx = 59475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629833221435547 × 217)
    floor (0.629833221435547 × 131072)
    floor (82553.5)     		ty = 82553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59475 / 82553 ti = "17/59475/82553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59475/82553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59475 ÷ 217
    59475 ÷ 131072     		x = 0.453758239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82553 ÷ 217
    82553 ÷ 131072     		y = 0.629829406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453758239746094 × 2 - 1) × π
    -0.0924835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29054555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629829406738281 × 2 - 1) × π
    -0.259658813476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.815742220834496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29054555} λ = -0.29054555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815742220834496))-π/2
    2×atan(0.442310913123438)-π/2
    2×0.416441310997778-π/2
    0.832882621995556-1.57079632675     		φ = -0.73791370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29054555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.647034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73791370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.279341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59475 KachelY 82553 -0.29054555 -0.73791370 -16.647034 -42.279341
    Oben rechts KachelX + 1 59476 KachelY 82553 -0.29049761 -0.73791370 -16.644287 -42.279341
    Unten links KachelX 59475 KachelY + 1 82554 -0.29054555 -0.73794917 -16.647034 -42.281373
    Unten rechts KachelX + 1 59476 KachelY + 1 82554 -0.29049761 -0.73794917 -16.644287 -42.281373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73791370--0.73794917) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dl = 225.979370000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73791370--0.73794917) × R
    3.54700000000374e-05 × 6371000     		dr = 225.979370000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29054555--0.29049761) × cos(-0.73791370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739873717432941 × 6371000     		do = 225.976477653359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29054555--0.29049761) × cos(-0.73794917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.739849854674763 × 6371000     		du = 225.969189352784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73791370)-sin(-0.73794917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739873717432941-0.739849854674763)×R²
    abs(-0.29049761--0.29054555)×2.38627581774509e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38627581774509e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38627581774509e-05×40589641000000     		ar = 51065.1985574134m²