Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59475 / 82233
↖ ↑ ↗
← S 41.625709°
W 16.647034°		 ← 228.31 m → S 41.625709°
W 16.644287°		 →
↑
228.27 m
↓
↑
228.27 m
↓
S 41.627762°
W 16.647034°		 ← 228.30 m →
52 115 m²		 S 41.627762°
W 16.644287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453762054443359 y=0.627391815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453762054443359 × 217)
    floor (0.453762054443359 × 131072)
    floor (59475.5)     		tx = 59475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627391815185547 × 217)
    floor (0.627391815185547 × 131072)
    floor (82233.5)     		ty = 82233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59475 / 82233 ti = "17/59475/82233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59475/82233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59475 ÷ 217
    59475 ÷ 131072     		x = 0.453758239746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82233 ÷ 217
    82233 ÷ 131072     		y = 0.627388000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453758239746094 × 2 - 1) × π
    -0.0924835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29054555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627388000488281 × 2 - 1) × π
    -0.254776000976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.800402412956078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29054555} λ = -0.29054555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800402412956078))-π/2
    2×atan(0.44914818469695)-π/2
    2×0.422145330060323-π/2
    0.844290660120647-1.57079632675     		φ = -0.72650567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29054555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.647034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72650567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.625709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59475 KachelY 82233 -0.29054555 -0.72650567 -16.647034 -41.625709
    Oben rechts KachelX + 1 59476 KachelY 82233 -0.29049761 -0.72650567 -16.644287 -41.625709
    Unten links KachelX 59475 KachelY + 1 82234 -0.29054555 -0.72654150 -16.647034 -41.627762
    Unten rechts KachelX + 1 59476 KachelY + 1 82234 -0.29049761 -0.72654150 -16.644287 -41.627762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72650567--0.72654150) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dl = 228.272929999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72650567--0.72654150) × R
    3.5829999999959e-05 × 6371000     		dr = 228.272929999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29054555--0.29049761) × cos(-0.72650567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747500110761761 × 6371000     		do = 228.305774479343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29054555--0.29049761) × cos(-0.72654150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747476309785824 × 6371000     		du = 228.298505048655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72650567)-sin(-0.72654150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747500110761761-0.747476309785824)×R²
    abs(-0.29049761--0.29054555)×2.38009759374602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38009759374602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38009759374602e-05×40589641000000     		ar = 52115.19837468m²