Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59474 / 84883
↖ ↑ ↗
← S 46.835771°
W 16.649781°		 ← 208.94 m → S 46.835771°
W 16.647034°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
S 46.837650°
W 16.649781°		 ← 208.93 m →
43 648 m²		 S 46.837650°
W 16.647034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453754425048828 y=0.647609710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453754425048828 × 217)
    floor (0.453754425048828 × 131072)
    floor (59474.5)     		tx = 59474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647609710693359 × 217)
    floor (0.647609710693359 × 131072)
    floor (84883.5)     		ty = 84883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59474 / 84883 ti = "17/59474/84883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59474/84883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59474 ÷ 217
    59474 ÷ 131072     		x = 0.453750610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84883 ÷ 217
    84883 ÷ 131072     		y = 0.647605895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453750610351562 × 2 - 1) × π
    -0.092498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29059349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647605895996094 × 2 - 1) × π
    -0.295211791992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.927435196949226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29059349} λ = -0.29059349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927435196949226))-π/2
    2×atan(0.395566961771348)-π/2
    2×0.376678960374593-π/2
    0.753357920749186-1.57079632675     		φ = -0.81743841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29059349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.649781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81743841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.835771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59474 KachelY 84883 -0.29059349 -0.81743841 -16.649781 -46.835771
    Oben rechts KachelX + 1 59475 KachelY 84883 -0.29054555 -0.81743841 -16.647034 -46.835771
    Unten links KachelX 59474 KachelY + 1 84884 -0.29059349 -0.81747120 -16.649781 -46.837650
    Unten rechts KachelX + 1 59475 KachelY + 1 84884 -0.29054555 -0.81747120 -16.647034 -46.837650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81743841--0.81747120) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dl = 208.90509000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81743841--0.81747120) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dr = 208.90509000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29059349--0.29054555) × cos(-0.81743841) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684091862806337 × 6371000     		do = 208.939263425709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29059349--0.29054555) × cos(-0.81747120) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68406794554827 × 6371000     		du = 208.931958479465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81743841)-sin(-0.81747120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684091862806337-0.68406794554827)×R²
    abs(-0.29054555--0.29059349)×2.39172580671632e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39172580671632e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39172580671632e-05×40589641000000     		ar = 43647.7126142968m²