Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59474 / 59094
↖ ↑ ↗
← S 80.836157°
E146.700439°		 ← 97.28 m → S 80.836157°
E146.705933°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
S 80.837032°
E146.700439°		 ← 97.27 m →
9 464 m²		 S 80.837032°
E146.705933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907508850097656 y=0.901710510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907508850097656 × 216)
    floor (0.907508850097656 × 65536)
    floor (59474.5)     		tx = 59474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901710510253906 × 216)
    floor (0.901710510253906 × 65536)
    floor (59094.5)     		ty = 59094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59474 / 59094 ti = "16/59474/59094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59474/59094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59474 ÷ 216
    59474 ÷ 65536     		x = 0.907501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59094 ÷ 216
    59094 ÷ 65536     		y = 0.901702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907501220703125 × 2 - 1) × π
    0.81500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56040568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.80340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5239736387952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56040568} λ = 2.56040568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5239736387952))-π/2
    2×atan(0.0801405237149236)-π/2
    2×0.0799696142340188-π/2
    0.159939228468038-1.57079632675     		φ = -1.41085710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56040568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.700439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41085710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.836157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59474 KachelY 59094 2.56040568 -1.41085710 146.700439 -80.836157
    Oben rechts KachelX + 1 59475 KachelY 59094 2.56050156 -1.41085710 146.705933 -80.836157
    Unten links KachelX 59474 KachelY + 1 59095 2.56040568 -1.41087237 146.700439 -80.837032
    Unten rechts KachelX + 1 59475 KachelY + 1 59095 2.56050156 -1.41087237 146.705933 -80.837032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41085710--1.41087237) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41085710--1.41087237) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56040568-2.56050156) × cos(-1.41085710) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159258209353895 × 6371000     		do = 97.2831128859128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56040568-2.56050156) × cos(-1.41087237) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159243134226891 × 6371000     		du = 97.273904222271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41085710)-sin(-1.41087237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159258209353895-0.159243134226891)×R²
    abs(2.56050156-2.56040568)×1.50751270044658e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50751270044658e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50751270044658e-05×40589641000000     		ar = 9463.7562421507m²