Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59474 / 58427
↖ ↑ ↗
← S 80.233843°
E146.700439°		 ← 103.62 m → S 80.233843°
E146.705933°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
S 80.234775°
E146.700439°		 ← 103.61 m →
10 733 m²		 S 80.234775°
E146.705933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907508850097656 y=0.891532897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907508850097656 × 216)
    floor (0.907508850097656 × 65536)
    floor (59474.5)     		tx = 59474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891532897949219 × 216)
    floor (0.891532897949219 × 65536)
    floor (58427.5)     		ty = 58427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59474 / 58427 ti = "16/59474/58427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59474/58427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59474 ÷ 216
    59474 ÷ 65536     		x = 0.907501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58427 ÷ 216
    58427 ÷ 65536     		y = 0.891525268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907501220703125 × 2 - 1) × π
    0.81500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56040568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891525268554688 × 2 - 1) × π
    -0.783050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.46002581470204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56040568} λ = 2.56040568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46002581470204))-π/2
    2×atan(0.0854327455179847)-π/2
    2×0.0852258001662132-π/2
    0.170451600332426-1.57079632675     		φ = -1.40034473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56040568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.700439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40034473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.233843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59474 KachelY 58427 2.56040568 -1.40034473 146.700439 -80.233843
    Oben rechts KachelX + 1 59475 KachelY 58427 2.56050156 -1.40034473 146.705933 -80.233843
    Unten links KachelX 59474 KachelY + 1 58428 2.56040568 -1.40036099 146.700439 -80.234775
    Unten rechts KachelX + 1 59475 KachelY + 1 58428 2.56050156 -1.40036099 146.705933 -80.234775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40034473--1.40036099) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40034473--1.40036099) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56040568-2.56050156) × cos(-1.40034473) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169627418722207 × 6371000     		do = 103.617159774972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56040568-2.56050156) × cos(-1.40036099) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169611394335408 × 6371000     		du = 103.60737125458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40034473)-sin(-1.40036099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169627418722207-0.169611394335408)×R²
    abs(2.56050156-2.56040568)×1.60243867989573e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.60243867989573e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.60243867989573e-05×40589641000000     		ar = 10733.4494707823m²