Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59473 / 58421
↖ ↑ ↗
← S 80.228250°
E146.694946°		 ← 103.67 m → S 80.228250°
E146.700439°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 80.229182°
E146.694946°		 ← 103.66 m →
10 745 m²		 S 80.229182°
E146.700439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907493591308594 y=0.891441345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907493591308594 × 216)
    floor (0.907493591308594 × 65536)
    floor (59473.5)     		tx = 59473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891441345214844 × 216)
    floor (0.891441345214844 × 65536)
    floor (58421.5)     		ty = 58421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59473 / 58421 ti = "16/59473/58421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59473/58421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59473 ÷ 216
    59473 ÷ 65536     		x = 0.907485961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58421 ÷ 216
    58421 ÷ 65536     		y = 0.891433715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907485961914062 × 2 - 1) × π
    0.814971923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.56030981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891433715820312 × 2 - 1) × π
    -0.782867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.4594505719066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56030981} λ = 2.56030981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4594505719066))-π/2
    2×atan(0.0854819042270797)-π/2
    2×0.0852746024742696-π/2
    0.170549204948539-1.57079632675     		φ = -1.40024712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56030981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.694946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40024712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.228250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59473 KachelY 58421 2.56030981 -1.40024712 146.694946 -80.228250
    Oben rechts KachelX + 1 59474 KachelY 58421 2.56040568 -1.40024712 146.700439 -80.228250
    Unten links KachelX 59473 KachelY + 1 58422 2.56030981 -1.40026339 146.694946 -80.229182
    Unten rechts KachelX + 1 59474 KachelY + 1 58422 2.56040568 -1.40026339 146.700439 -80.229182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40024712--1.40026339) × R
    1.62700000001514e-05 × 6371000     		dl = 103.656170000965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40024712--1.40026339) × R
    1.62700000001514e-05 × 6371000     		dr = 103.656170000965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56030981-2.56040568) × cos(-1.40024712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169723613375643 × 6371000     		do = 103.665107330049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56030981-2.56040568) × cos(-1.40026339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169707579403185 × 6371000     		du = 103.655313975767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40024712)-sin(-1.40026339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169723613375643-0.169707579403185)×R²
    abs(2.56040568-2.56030981)×1.60339724578906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60339724578906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60339724578906e-05×40589641000000     		ar = 10745.0204179925m²