Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59472 / 84880
↖ ↑ ↗
← S 46.830134°
W 16.655273°		 ← 208.96 m → S 46.830134°
W 16.652527°		 →
↑
208.97 m
↓
↑
208.97 m
↓
S 46.832013°
W 16.655273°		 ← 208.95 m →
43 666 m²		 S 46.832013°
W 16.652527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453739166259766 y=0.647586822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453739166259766 × 217)
    floor (0.453739166259766 × 131072)
    floor (59472.5)     		tx = 59472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647586822509766 × 217)
    floor (0.647586822509766 × 131072)
    floor (84880.5)     		ty = 84880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59472 / 84880 ti = "17/59472/84880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59472/84880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59472 ÷ 217
    59472 ÷ 131072     		x = 0.4537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84880 ÷ 217
    84880 ÷ 131072     		y = 0.6475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29068936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6475830078125 × 2 - 1) × π
    -0.295166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.927291386250366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29068936} λ = -0.29068936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927291386250366))-π/2
    2×atan(0.395623852623225)-π/2
    2×0.376728152819132-π/2
    0.753456305638264-1.57079632675     		φ = -0.81734002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29068936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81734002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.830134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59472 KachelY 84880 -0.29068936 -0.81734002 -16.655273 -46.830134
    Oben rechts KachelX + 1 59473 KachelY 84880 -0.29064142 -0.81734002 -16.652527 -46.830134
    Unten links KachelX 59472 KachelY + 1 84881 -0.29068936 -0.81737282 -16.655273 -46.832013
    Unten rechts KachelX + 1 59473 KachelY + 1 84881 -0.29064142 -0.81737282 -16.652527 -46.832013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81734002--0.81737282) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dl = 208.96880000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81734002--0.81737282) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dr = 208.96880000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29068936--0.29064142) × cos(-0.81734002) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684163624753859 × 6371000     		do = 208.961181371635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29068936--0.29064142) × cos(-0.81737282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684139702409381 × 6371000     		du = 208.95387487187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81734002)-sin(-0.81737282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684163624753859-0.684139702409381)×R²
    abs(-0.29064142--0.29068936)×2.39223444772341e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39223444772341e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39223444772341e-05×40589641000000     		ar = 43665.603906582m²