Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59471 / 59472
↖ ↑ ↗
← S 81.160996°
E146.683960°		 ← 93.85 m → S 81.160996°
E146.689453°		 →
↑
93.84 m
↓
↑
93.84 m
↓
S 81.161840°
E146.683960°		 ← 93.84 m →
8 807 m²		 S 81.161840°
E146.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907463073730469 y=0.907478332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907463073730469 × 216)
    floor (0.907463073730469 × 65536)
    floor (59471.5)     		tx = 59471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907478332519531 × 216)
    floor (0.907478332519531 × 65536)
    floor (59472.5)     		ty = 59472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59471 / 59472 ti = "16/59471/59472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59471/59472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59471 ÷ 216
    59471 ÷ 65536     		x = 0.907455444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59472 ÷ 216
    59472 ÷ 65536     		y = 0.907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907455444335938 × 2 - 1) × π
    0.814910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.56011806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.81494140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56021393490796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56011806} λ = 2.56011806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56021393490796))-π/2
    2×atan(0.0772882040296893)-π/2
    2×0.077134860419303-π/2
    0.154269720838606-1.57079632675     		φ = -1.41652661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56011806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.683960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41652661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.160996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59471 KachelY 59472 2.56011806 -1.41652661 146.683960 -81.160996
    Oben rechts KachelX + 1 59472 KachelY 59472 2.56021393 -1.41652661 146.689453 -81.160996
    Unten links KachelX 59471 KachelY + 1 59473 2.56011806 -1.41654134 146.683960 -81.161840
    Unten rechts KachelX + 1 59472 KachelY + 1 59473 2.56021393 -1.41654134 146.689453 -81.161840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41652661--1.41654134) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dl = 93.8448299997632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41652661--1.41654134) × R
    1.47299999999628e-05 × 6371000     		dr = 93.8448299997632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56011806-2.56021393) × cos(-1.41652661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153658529961406 × 6371000     		do = 93.8527508566031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56011806-2.56021393) × cos(-1.41654134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153643974878091 × 6371000     		du = 93.8438607897233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41652661)-sin(-1.41654134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153658529961406-0.153643974878091)×R²
    abs(2.56021393-2.56011806)×1.45550833144936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45550833144936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45550833144936e-05×40589641000000     		ar = 8807.17830585751m²