Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59470 / 35906
↖ ↑ ↗
← N 62.832581°
W 16.660766°		 ← 139.43 m → N 62.832581°
W 16.658020°		 →
↑
139.46 m
↓
↑
139.46 m
↓
N 62.831327°
W 16.660766°		 ← 139.43 m →
19 445 m²		 N 62.831327°
W 16.658020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453723907470703 y=0.273944854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453723907470703 × 217)
    floor (0.453723907470703 × 131072)
    floor (59470.5)     		tx = 59470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273944854736328 × 217)
    floor (0.273944854736328 × 131072)
    floor (35906.5)     		ty = 35906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59470 / 35906 ti = "17/59470/35906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59470/35906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59470 ÷ 217
    59470 ÷ 131072     		x = 0.453720092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35906 ÷ 217
    35906 ÷ 131072     		y = 0.273941040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453720092773438 × 2 - 1) × π
    -0.092559814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29078523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273941040039062 × 2 - 1) × π
    0.452117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42037033574226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29078523} λ = -0.29078523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42037033574226))-π/2
    2×atan(4.13865284755555)-π/2
    2×1.33371587122893-π/2
    2.66743174245787-1.57079632675     		φ = 1.09663542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29078523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.660766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09663542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.832581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59470 KachelY 35906 -0.29078523 1.09663542 -16.660766 62.832581
    Oben rechts KachelX + 1 59471 KachelY 35906 -0.29073730 1.09663542 -16.658020 62.832581
    Unten links KachelX 59470 KachelY + 1 35907 -0.29078523 1.09661353 -16.660766 62.831327
    Unten rechts KachelX + 1 59471 KachelY + 1 35907 -0.29073730 1.09661353 -16.658020 62.831327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09663542-1.09661353) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dl = 139.461189999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09663542-1.09661353) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dr = 139.461189999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29078523--0.29073730) × cos(1.09663542) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456592086785633 × 6371000     		do = 139.425886502882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29078523--0.29073730) × cos(1.09661353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456611561687339 × 6371000     		du = 139.431833398401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09663542)-sin(1.09661353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456592086785633-0.456611561687339)×R²
    abs(-0.29073730--0.29078523)×1.94749017060625e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94749017060625e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94749017060625e-05×40589641000000     		ar = 19444.9147296495m²