Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59469 / 85937
↖ ↑ ↗
← S 48.779723°
W 16.663513°		 ← 201.26 m → S 48.779723°
W 16.660766°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
S 48.781533°
W 16.663513°		 ← 201.25 m →
40 505 m²		 S 48.781533°
W 16.660766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453716278076172 y=0.655651092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453716278076172 × 217)
    floor (0.453716278076172 × 131072)
    floor (59469.5)     		tx = 59469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655651092529297 × 217)
    floor (0.655651092529297 × 131072)
    floor (85937.5)     		ty = 85937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59469 / 85937 ti = "17/59469/85937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59469/85937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59469 ÷ 217
    59469 ÷ 131072     		x = 0.453712463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85937 ÷ 217
    85937 ÷ 131072     		y = 0.655647277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453712463378906 × 2 - 1) × π
    -0.0925750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29083317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655647277832031 × 2 - 1) × π
    -0.311294555664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.977960689148766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29083317} λ = -0.29083317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977960689148766))-π/2
    2×atan(0.37607725579844)-π/2
    2×0.359714779058187-π/2
    0.719429558116374-1.57079632675     		φ = -0.85136677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29083317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.663513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85136677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.779723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59469 KachelY 85937 -0.29083317 -0.85136677 -16.663513 -48.779723
    Oben rechts KachelX + 1 59470 KachelY 85937 -0.29078523 -0.85136677 -16.660766 -48.779723
    Unten links KachelX 59469 KachelY + 1 85938 -0.29083317 -0.85139836 -16.663513 -48.781533
    Unten rechts KachelX + 1 59470 KachelY + 1 85938 -0.29078523 -0.85139836 -16.660766 -48.781533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85136677--0.85139836) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85136677--0.85139836) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29083317--0.29078523) × cos(-0.85136677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658955702241306 × 6371000     		do = 201.262032984139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29083317--0.29078523) × cos(-0.85139836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658931940491086 × 6371000     		du = 201.254775533994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85136677)-sin(-0.85139836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658955702241306-0.658931940491086)×R²
    abs(-0.29078523--0.29083317)×2.37617502202303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37617502202303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37617502202303e-05×40589641000000     		ar = 40505.2443060892m²