Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59469 / 58439
↖ ↑ ↗
← S 80.245018°
E146.672973°		 ← 103.50 m → S 80.245018°
E146.678467°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 80.245948°
E146.672973°		 ← 103.49 m →
10 708 m²		 S 80.245948°
E146.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907432556152344 y=0.891716003417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907432556152344 × 216)
    floor (0.907432556152344 × 65536)
    floor (59469.5)     		tx = 59469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891716003417969 × 216)
    floor (0.891716003417969 × 65536)
    floor (58439.5)     		ty = 58439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59469 / 58439 ti = "16/59469/58439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59469/58439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59469 ÷ 216
    59469 ÷ 65536     		x = 0.907424926757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58439 ÷ 216
    58439 ÷ 65536     		y = 0.891708374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907424926757812 × 2 - 1) × π
    0.814849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55992631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891708374023438 × 2 - 1) × π
    -0.783416748046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.46117630029292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55992631} λ = 2.55992631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46117630029292))-π/2
    2×atan(0.0853345128937214)-π/2
    2×0.0851282785104081-π/2
    0.170256557020816-1.57079632675     		φ = -1.40053977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55992631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.672973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40053977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.245018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59469 KachelY 58439 2.55992631 -1.40053977 146.672973 -80.245018
    Oben rechts KachelX + 1 59470 KachelY 58439 2.56002219 -1.40053977 146.678467 -80.245018
    Unten links KachelX 59469 KachelY + 1 58440 2.55992631 -1.40055601 146.672973 -80.245948
    Unten rechts KachelX + 1 59470 KachelY + 1 58440 2.56002219 -1.40055601 146.678467 -80.245948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40053977--1.40055601) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40053977--1.40055601) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55992631-2.56002219) × cos(-1.40053977) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.169435201965211 × 6371000     		do = 103.499743884959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55992631-2.56002219) × cos(-1.40055601) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.169419196751676 × 6371000     		du = 103.489967076584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40053977)-sin(-1.40055601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169435201965211-0.169419196751676)×R²
    abs(2.56002219-2.55992631)×1.60052135352029e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.60052135352029e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.60052135352029e-05×40589641000000     		ar = 10708.09936245m²