Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59469 / 27314
↖ ↑ ↗
← N 71.813416°
W 16.663513°		 ← 95.33 m → N 71.813416°
W 16.660766°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
N 71.812558°
W 16.663513°		 ← 95.33 m →
9 086 m²		 N 71.812558°
W 16.660766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453716278076172 y=0.208393096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453716278076172 × 217)
    floor (0.453716278076172 × 131072)
    floor (59469.5)     		tx = 59469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208393096923828 × 217)
    floor (0.208393096923828 × 131072)
    floor (27314.5)     		ty = 27314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59469 / 27314 ti = "17/59469/27314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59469/27314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59469 ÷ 217
    59469 ÷ 131072     		x = 0.453712463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27314 ÷ 217
    27314 ÷ 131072     		y = 0.208389282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453712463378906 × 2 - 1) × π
    -0.0925750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29083317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208389282226562 × 2 - 1) × π
    0.583221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83224417727779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29083317} λ = -0.29083317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83224417727779))-π/2
    2×atan(6.24789231502602)-π/2
    2×1.41208843738273-π/2
    2.82417687476546-1.57079632675     		φ = 1.25338055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29083317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.663513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25338055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.813416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59469 KachelY 27314 -0.29083317 1.25338055 -16.663513 71.813416
    Oben rechts KachelX + 1 59470 KachelY 27314 -0.29078523 1.25338055 -16.660766 71.813416
    Unten links KachelX 59469 KachelY + 1 27315 -0.29083317 1.25336559 -16.663513 71.812558
    Unten rechts KachelX + 1 59470 KachelY + 1 27315 -0.29078523 1.25336559 -16.660766 71.812558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25338055-1.25336559) × R
    1.49599999998973e-05 × 6371000     		dl = 95.3101599993456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25338055-1.25336559) × R
    1.49599999998973e-05 × 6371000     		dr = 95.3101599993456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29083317--0.29078523) × cos(1.25338055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312112476781793 × 6371000     		do = 95.3271841842496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29083317--0.29078523) × cos(1.25336559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.312126689422428 × 6371000     		du = 95.3315250905326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25338055)-sin(1.25336559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312112476781793-0.312126689422428)×R²
    abs(-0.29078523--0.29083317)×1.42126406342258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42126406342258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42126406342258e-05×40589641000000     		ar = 9085.85604328182m²