Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59469 / 27299
↖ ↑ ↗
← N 71.826270°
W 16.663513°		 ← 95.26 m → N 71.826270°
W 16.660766°		 →
↑
95.25 m
↓
↑
95.25 m
↓
N 71.825413°
W 16.663513°		 ← 95.27 m →
9 074 m²		 N 71.825413°
W 16.660766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453716278076172 y=0.208278656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453716278076172 × 217)
    floor (0.453716278076172 × 131072)
    floor (59469.5)     		tx = 59469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208278656005859 × 217)
    floor (0.208278656005859 × 131072)
    floor (27299.5)     		ty = 27299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59469 / 27299 ti = "17/59469/27299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59469/27299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59469 ÷ 217
    59469 ÷ 131072     		x = 0.453712463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27299 ÷ 217
    27299 ÷ 131072     		y = 0.208274841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453712463378906 × 2 - 1) × π
    -0.0925750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29083317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208274841308594 × 2 - 1) × π
    0.583450317382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.83296323077209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29083317} λ = -0.29083317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83296323077209))-π/2
    2×atan(6.25238649941301)-π/2
    2×1.41220061184659-π/2
    2.82440122369318-1.57079632675     		φ = 1.25360490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29083317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.663513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25360490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.826270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59469 KachelY 27299 -0.29083317 1.25360490 -16.663513 71.826270
    Oben rechts KachelX + 1 59470 KachelY 27299 -0.29078523 1.25360490 -16.660766 71.826270
    Unten links KachelX 59469 KachelY + 1 27300 -0.29083317 1.25358995 -16.663513 71.825413
    Unten rechts KachelX + 1 59470 KachelY + 1 27300 -0.29078523 1.25358995 -16.660766 71.825413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25360490-1.25358995) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dl = 95.2464499997327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25360490-1.25358995) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dr = 95.2464499997327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29083317--0.29078523) × cos(1.25360490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311899326297665 × 6371000     		do = 95.2620825399033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29083317--0.29078523) × cos(1.25358995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311913530484396 × 6371000     		du = 95.2664208641468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25360490)-sin(1.25358995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311899326297665-0.311913530484396)×R²
    abs(-0.29078523--0.29083317)×1.42041867311482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42041867311482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42041867311482e-05×40589641000000     		ar = 9073.58178677892m²