Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59468 / 84884
↖ ↑ ↗
← S 46.837650°
W 16.666260°		 ← 208.93 m → S 46.837650°
W 16.663513°		 →
↑
208.91 m
↓
↑
208.91 m
↓
S 46.839528°
W 16.666260°		 ← 208.92 m →
43 646 m²		 S 46.839528°
W 16.663513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453708648681641 y=0.647617340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453708648681641 × 217)
    floor (0.453708648681641 × 131072)
    floor (59468.5)     		tx = 59468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647617340087891 × 217)
    floor (0.647617340087891 × 131072)
    floor (84884.5)     		ty = 84884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59468 / 84884 ti = "17/59468/84884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59468/84884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59468 ÷ 217
    59468 ÷ 131072     		x = 0.453704833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84884 ÷ 217
    84884 ÷ 131072     		y = 0.647613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09259033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29088111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.29522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.927483133848846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29088111} λ = -0.29088111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.927483133848846))-π/2
    2×atan(0.395547999972097)-π/2
    2×0.376662564039698-π/2
    0.753325128079396-1.57079632675     		φ = -0.81747120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29088111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.666260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81747120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.837650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59468 KachelY 84884 -0.29088111 -0.81747120 -16.666260 -46.837650
    Oben rechts KachelX + 1 59469 KachelY 84884 -0.29083317 -0.81747120 -16.663513 -46.837650
    Unten links KachelX 59468 KachelY + 1 84885 -0.29088111 -0.81750399 -16.666260 -46.839528
    Unten rechts KachelX + 1 59469 KachelY + 1 84885 -0.29083317 -0.81750399 -16.663513 -46.839528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81747120--0.81750399) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dl = 208.90509000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81747120--0.81750399) × R
    3.27900000000048e-05 × 6371000     		dr = 208.90509000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29088111--0.29083317) × cos(-0.81747120) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68406794554827 × 6371000     		do = 208.931958479465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29088111--0.29083317) × cos(-0.81750399) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684044027554704 × 6371000     		du = 208.924653308581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81747120)-sin(-0.81750399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68406794554827-0.684044027554704)×R²
    abs(-0.29083317--0.29088111)×2.39179935661582e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39179935661582e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39179935661582e-05×40589641000000     		ar = 43646.1865500851m²