Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59468 / 58442
↖ ↑ ↗
← S 80.247810°
E146.667480°		 ← 103.46 m → S 80.247810°
E146.672973°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 80.248740°
E146.667480°		 ← 103.45 m →
10 704 m²		 S 80.248740°
E146.672973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907417297363281 y=0.891761779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907417297363281 × 216)
    floor (0.907417297363281 × 65536)
    floor (59468.5)     		tx = 59468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891761779785156 × 216)
    floor (0.891761779785156 × 65536)
    floor (58442.5)     		ty = 58442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59468 / 58442 ti = "16/59468/58442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59468/58442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59468 ÷ 216
    59468 ÷ 65536     		x = 0.90740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58442 ÷ 216
    58442 ÷ 65536     		y = 0.891754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90740966796875 × 2 - 1) × π
    0.8148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55983044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.78350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46146392169064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55983044} λ = 2.55983044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46146392169064))-π/2
    2×atan(0.0853099723912051)-π/2
    2×0.0851039153687646-π/2
    0.170207830737529-1.57079632675     		φ = -1.40058850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55983044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.667480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40058850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.247810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59468 KachelY 58442 2.55983044 -1.40058850 146.667480 -80.247810
    Oben rechts KachelX + 1 59469 KachelY 58442 2.55992631 -1.40058850 146.672973 -80.247810
    Unten links KachelX 59468 KachelY + 1 58443 2.55983044 -1.40060474 146.667480 -80.248740
    Unten rechts KachelX + 1 59469 KachelY + 1 58443 2.55992631 -1.40060474 146.672973 -80.248740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40058850--1.40060474) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40058850--1.40060474) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55983044-2.55992631) × cos(-1.40058850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169387176335067 × 6371000     		do = 103.45961570029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55983044-2.55992631) × cos(-1.40060474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169371170987471 × 6371000     		du = 103.449839829724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40058850)-sin(-1.40060474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169387176335067-0.169371170987471)×R²
    abs(2.55992631-2.55983044)×1.6005347596465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6005347596465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6005347596465e-05×40589641000000     		ar = 10703.9475466756m²