Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59467 / 85351
↖ ↑ ↗
← S 47.707914°
W 16.669006°		 ← 205.48 m → S 47.707914°
W 16.666260°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
S 47.709761°
W 16.669006°		 ← 205.47 m →
42 218 m²		 S 47.709761°
W 16.666260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453701019287109 y=0.651180267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453701019287109 × 217)
    floor (0.453701019287109 × 131072)
    floor (59467.5)     		tx = 59467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651180267333984 × 217)
    floor (0.651180267333984 × 131072)
    floor (85351.5)     		ty = 85351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59467 / 85351 ti = "17/59467/85351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59467/85351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59467 ÷ 217
    59467 ÷ 131072     		x = 0.453697204589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85351 ÷ 217
    85351 ÷ 131072     		y = 0.651176452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453697204589844 × 2 - 1) × π
    -0.0926055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29092904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651176452636719 × 2 - 1) × π
    -0.302352905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.949869665971413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29092904} λ = -0.29092904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949869665971413))-π/2
    2×atan(0.386791432255028)-π/2
    2×0.369068079608206-π/2
    0.738136159216412-1.57079632675     		φ = -0.83266017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29092904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.669006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83266017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.707914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59467 KachelY 85351 -0.29092904 -0.83266017 -16.669006 -47.707914
    Oben rechts KachelX + 1 59468 KachelY 85351 -0.29088111 -0.83266017 -16.666260 -47.707914
    Unten links KachelX 59467 KachelY + 1 85352 -0.29092904 -0.83269242 -16.669006 -47.709761
    Unten rechts KachelX + 1 59468 KachelY + 1 85352 -0.29088111 -0.83269242 -16.666260 -47.709761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83266017--0.83269242) × R
    3.22499999999559e-05 × 6371000     		dl = 205.464749999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83266017--0.83269242) × R
    3.22499999999559e-05 × 6371000     		dr = 205.464749999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29092904--0.29088111) × cos(-0.83266017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67291035161176 × 6371000     		do = 205.481270976306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29092904--0.29088111) × cos(-0.83269242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.672886495161467 × 6371000     		du = 205.473986122216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83266017)-sin(-0.83269242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67291035161176-0.672886495161467)×R²
    abs(-0.29088111--0.29092904)×2.38564502930139e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38564502930139e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38564502930139e-05×40589641000000     		ar = 42218.4095841326m²